关于无限小微积分的教员培训园地
去年11月，我设法联络上海一家培训机构，想让他们开展高等学校师资培训业务。结果，因为他们是搞幼儿教育的，对于培训高等学校师资，他们说，不敢不敢，想都不敢去想。对此，我很感失望。有钱不赚，傻帽也。
有人认为，培训高等学校师资是异想天开，匪夷所思也。为什么中等学校师资需要培训，而高等学校师资，特别是大学老师，就不需要培训呢？莫非他们都是“神人”，知晓一切？非也。我就愿意接受培训，学习新东西并不丢人。坦率地说，翻一翻J.Keisler撰写的《基础微积分》教材，通俗易懂，容易上手，初看起来，谁都能教，但是，再深入下去追问几个为什么，往往就摇头发呆了。
针对这种情况，2011年6月，J.Keisler专门为教师写了一本教学辅导书，题目就叫《无穷小微积分基础》，全书共计十五章，其第一章的内容如下：
第一章 超实数（The Hyperreal Numbers）.. . . . . . . . . 1
第一节 超实数结构（Structure of the Hyperreal Numbers）.
第二节 标准部分（Standard Parts） .
第三节 超实数公理（Axioms for the Hyperreal Numbers）.
第四节 转移公理的推论（Consequences of the Transfer Axiom ）.. .
第五节 集合的自然延伸（Natural Extensions of Sets）..
第六节 附录：实数的代数（Appendix.Algebra of the Real Numbers）..
第七节 超实数的构建方法（Building the Hyperreal Numbers）
.. 任何传统微积分教员看了第一节“超实数结构”之后，一定会大吃一惊，惊奇于天下还有这等“理论”，要用显微镜观看一个几何点。几何点有什么好看的？第二节“标准部分”，里面运算繁多，令人眼花缭乱。接下来，第三节，第四节。第五节，云里雾里，自认吃不消了，愿意放下架子接受培训了。
我不想为无穷小微积分学“吹牛”、唱赞歌，尽説它的好话。说实在话，无穷小微积分这门课，学生爱学，老师难教。因为，对于教师与学生而言，学习无穷小微积分都是新鲜事儿。老师需要先走一步。有人说，引进无穷小扩展实数系并不困难。但是，传统的微积分学（定理系统）怎么转移到超实数系里面去呢？什么叫“转移公理”呢？为什么要转移？怎么转移？脑袋就大了。
看起来，普及无穷小微积分，不仅要着眼于学生，老师也要关照到。阳春白雪，下里巴人，两个方面都需要。培训老师很困难，因为，他们受到多年传统微积分的熏陶，笃信（ε，δ）方法，中“毒”很深，搞不好会与你“拼命”（对抗）。但是，学习无穷小微积分之后，对于提高传统微积分的教学水平很有助益。这是大实话。大陆的汽车驾驶员坐在左侧，沿着马路右侧走，而澳门的汽车驾驶员坐在右侧，沿着马路的左边走。在澳门过马路要特别小心，方向不能看错了。学习无穷小微积分也一样，思路要改变一下才行。
- 1楼sayyanfu昨天 16:09
- J.Keisler撰写的《基础微积分》教材，有没有PDF课本？
- Re: yuanmeng001昨天 17:16
- 回复sayyanfun 可以从J. Keisler个人网站上*下载（PDF影印件）。英文原文名称是《elementary Calculus》。n袁萌 3月5日