大臣的旅费
题目描述
很久以前，T王国空前繁荣。为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。
为节省经费，T国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。
J是T国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了J最常做的事情。他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。
聪明的J发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关，在走第x千米到第x+1千米这一千米中（x是整数），他花费的路费是x+10这么多。也就是说走1千米花费11，走2千米要花费23。
J大臣想知道：他从某一个城市出发，中间不休息，到达另一个城市，所有可能花费的路费中最多是多少呢？
输入格式：
输入的第一行包含一个整数n，表示包括首都在内的T王国的城市数
城市从1开始依次编号，1号城市为首都。
接下来n-1行，描述T国的高速路（T国的高速路一定是n-1条）
每行三个整数Pi, Qi, Di，表示城市Pi和城市Qi之间有一条高速路，长度为Di千米。
输出格式:
输出一个整数，表示大臣J最多花费的路费是多少。
样例输入:
5
1 2 2
1 3 1
2 4 5
2 5 4
样例输出:
135
样例说明:
大臣J从城市4到城市5要花费135的路费。
根据资源限制尽可能考虑支持更大的数据规模。
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 64M
CPU消耗 < 5000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.6及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。
PS：
这道题就是求一棵树间两点最长距离，即树的直径。具体求法为 先从根节点出发用dfs求得距离根节点最远的节点，设为u，再从u点出发，用dfs求得距离u最远的节点，设为v，则d[u][v]即u，v节点的距离就为树的直径。
证明如下：(不是我证明的)
为了阐述清楚证明，首先作如下严格定义：
1。我们用a～b表示树中任意两个结点a,b之间的唯一路径，a～b之间可以有0个或多个结点；
用x in a～b表示结点x处于路径a,b上，即存在形如a～x～b的路径（这里x可以和a或b重合）；
用符号a-b表示a,b直接相邻。
定理5: 设r是树T的根，u是距离r最远的结点，v是距离u最远的结点。则树的直径就是d(u, v)。
证明：设a, b是除了u,v以外的另外两个叶节点。设x = f(f(a, b), u)。即x是a,b,u三个节点的最近公共祖先。
根据引理4，一定有 x in u～a 或 x in u～b。不妨设x in u～b 成立。
于是就有u～x～b这条路径，即
d(u,b) = d(u,x)+d(x,b) ......(1)
于是
d(r,u) >= d(r,a) // 因为u是距离r最远的点
==> d(r,x) + d(x,u) >= d(r,x) + d(x,a) // 因为根据公共祖先的定义，x in r～u 且 x in r～a
==> d(u,x) >= d(x,a) ........
(2)于是
d(u,v) >= d(u,b) // 因为v是距离u最远的点
= d(u,x）+ d(x,b) // 根据(1)式
>= d(x,a) + d(x,b) // 根据(2)式
>= d(a,b) // 根据引理2
所以对于除了u,v外任意的叶节点a,b，总有d(u, v)>= d(a,b)。
如果a,b中有一个是u,v之一，显然也有d(u, v)>=d(a,b)。
再根据引理1和树的半径的定义，可知d(u,v)就是T的直径。
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
//动态链表ArrayList
class Vertex{
ArrayList<Integer> V=new ArrayList();
}
class Edge{
ArrayList<Integer> E=new ArrayList();
}
public class Main {
final static int INF=0X3f3f3f3f;
final static int maxn=100000;//开100000数组才过，我r
static Vertex v[]=new Vertex[maxn+5];//v[i]存储与i相邻接的节点
static Edge e[]=new Edge[maxn+5];//e[i]存储与i相邻接的边，与v[i]一一对应
static boolean vis[]=new boolean[maxn+5];//防止重复访问
static int dis[]=new int [maxn+5];//存储原始节点到各节点的dfs距离
static void init(int n)//初始化
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
v[i]=new Vertex();
e[i]=new Edge();
}
}
static void dfs(int a)
{
int len=v[a].V.size();
vis[a]=true;
for(int i=0;i<len;i++)//遍历邻接节点
{
int j=v[a].V.get(i);
if(!vis[j]&&e[a].E.get(i)!=INF)
{
vis[j]=true;
dis[j]=dis[a]+e[a].E.get(i);
//System.out.println(a+" "+j+" "+dis[j]);
dfs(j);
vis[j]=false;//回溯
}
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner cin = new Scanner(System.in);
int n=cin.nextInt();
init(n);
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
int a=cin.nextInt();
int b=cin.nextInt();
int d=cin.nextInt();
v[a-1].V.add(b-1);//节点从零开始
e[a-1].E.add(d);
v[b-1].V.add(a-1);
e[b-1].E.add(d);
}
Arrays.fill(vis,false);
Arrays.fill(dis,INF);
dis[0]=0;
dfs(0);//第一次遍历
long max=-1;
int temp=-1;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(dis[i]>max)
{
max=dis[i];
temp=i;
}
}
//System.out.println(temp);
Arrays.fill(vis,false);
Arrays.fill(dis,INF);
dis[temp]=0;
dfs(temp);//第二次遍历
long ans=-1;//防止越界
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(dis[i]>ans)
{
ans=dis[i];
temp=i;
}
}
//System.out.println(ans);
ans=ans*10+ans*(ans+1)/2;//如果ans是int的话，有可能越界
System.out.println(ans);
cin.close();
}
}
