小游戏 Lights Out (关灯) 的求解 —— 异或方程组
游戏介绍
Lights Out （关灯）是一款据说在20世纪90年代就已经被设计出的小游戏，游戏的玩法十分简单。
首先，给定一个 n 行 m 列的矩形方格阵，每个格子上都有一盏灯。
初始时，有些灯是开着的，有些灯是关着的。
玩家每次进行一次操作，选中一盏灯，点击一下它，就会将它和与它相邻的灯的状态改变，即开着的灯变为关闭，关着的灯变为开启。
最后的目的是关闭所有的灯。
这里给出一个网页版的链接：关灯。
还有博客园一位博友DIY的一个类似的游戏，蓝色拼图。这个蓝色拼图与 Lights Out 实质上相同，只是初始状态固定了是所有的灯都是开启的。
Lights Out 的游戏规则就是这样简单，然而到了后面的几关，方格增多，情况复杂，人工找出解法对于我来说是十分困难的。
因此，我们考虑用程序求解这个游戏。
求解方法
首先我们要将这个游戏的过程转化为数学模型。
显然地，对于一个方格，会影响到它的方格只有它本身和与它相邻的 4 个方格（对于边界的方格来说，相邻的方格不足 4 个）。
并且很容易发现，每一个方格我们要么不点击，要么点击 1 次，因为点击一个方格两次及以上是没有任何意义的。每点击两次就相当于没有点击。
对于方格 i ，我们用 0 表示不点击它，用 1 表示点击它，记作 Si 。
每盏灯的状态只有开或者关，我们用 0 和 1 表示方格 i 状态，方格 i 的初始状态记为 Mi 。
可以看出，每盏灯 i 的最终状态只与 Mi + Si + Sk1 + Sk2 + .... + Skp （k1 ... kp 是枚举与 i 相邻的所有方格）的奇偶性有关。
既然只与奇偶性有关，我们就可以用异或运算来表示它。
也就是说，对于每盏灯 i ，我们都可以得到一个方程 Mi xor Si xor Sk1 xor Sk2 xor ... xor Skp = 0 。
等式右边的 0 表示最后每盏灯的状态都是关闭的。
这个方程其实也就等价于 Si xor Sk1 xor Sk2 xor ... xor Skp = Mi 。
我们得到了 Tot 个这样的方程（Tot 是灯的数量，即 Tot = n * m），共有 Tot 个未知数（即 Tot 个 Si），就是一个异或方程组。
由于游戏给定的初始状态一定有解，所以我们是一定可以求出这个异或方程组的一组解的。
那么下面的问题就是：怎样求解异或方程组？
显然，我们要使用高斯消元来求异或方程组的解。
这个过程与使用高斯消元求解普通的线性方程组相似（如果不了解高斯消元可以看一下Wikipedia-高斯消去法），只是每次在一个方程中消去一个未知数的时候，不是将这个方程乘上一个系数后与另一个方程相减，而是将这个方程的系数与另一个方程的系数进行异或运算，两个方程右边的数也要一起进行异或。
这样就可以求出 Lights Out 的解了。
代码如下，因为代码非常简单所以没有添加注释：
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int MaxL = 10 + 5, MaxN = 100 + 5;
const int Dx[5] = {0, 0, 1, -1}, Dy[5] = {1, -1, 0, 0};
int n, m, Tot;
int A[MaxN][MaxN], Map[MaxL][MaxL], Ans[MaxL][MaxL];
inline bool Inside(int x, int y)
{
if (x < 0 || x >= n) return false;
if (y < 0 || y >= m) return false;
return true;
}
inline int Get_Index(int x, int y)
{
return x * m + y + 1;
}
struct Pos
{
int x, y;
};
inline Pos Get_Pos(int Num)
{
Pos ret;
ret.x = (Num - 1) / m;
ret.y = ((Num % m - 1) + m) % m;
return ret;
}
void Get_Equation(int x, int y)
{
int Id, Id2, xx, yy;
Id = Get_Index(x, y);
for (int i = 1; i <= Tot; ++i) A[Id][i] = 0;
A[Id][Tot + 1] = Map[x][y];
A[Id][Id] = 1;
for (int k = 0; k < 4; ++k)
{
xx = x + Dx[k]; yy = y + Dy[k];
if (!Inside(xx, yy)) continue;
Id2 = Get_Index(xx, yy);
A[Id][Id2] = 1;
}
}
inline void Swap(int p, int q)
{
int Temp;
for (int i = 1; i <= Tot + 1; ++i)
{
Temp = A[p][i];
A[p][i] = A[q][i];
A[q][i] = Temp;
}
}
void Gauss()
{
int Tj;
for (int i = 1; i <= Tot; ++i)
{
Tj = i;
for (int j = i + 1; j <= Tot; ++j)
{
if (A[Tj][i] == 0 && A[j][i] == 1)
{
Tj = j;
break;
}
}
if (A[Tj][i] == 0) continue;
if (Tj != i) Swap(Tj, i);
for (int j = i + 1; j <= Tot; ++j)
{
if (A[j][i] == 0) continue;
for (int k = i; k <= Tot + 1; ++k)
A[j][k] ^= A[i][k];
}
}
Pos Pi;
for (int i = Tot; i >= 1; --i)
{
Pi = Get_Pos(i);
Ans[Pi.x][Pi.y] = A[i][Tot + 1];
for (int j = i - 1; j >= 1; --j)
if (A[j][i]) A[j][Tot + 1] ^= A[i][Tot + 1];
}
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
Tot = n * m;
for (int i = 0; i < n; ++i)
for (int j = 0; j < m; ++j)
scanf("%1d", &Map[i][j]);
for (int i = 0; i < n; ++i)
for (int j = 0; j < m; ++j)
Get_Equation(i, j);
Gauss();
printf("Solution:
");
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
for (int j = 0; j < m; ++j)
printf("%d", Ans[i][j]);
printf("
");
}
return 0;
}