陶哲轩实分析 5.5 节练习题试解

陶哲轩实分析 5.5 节习题试解

5.5.1 设 $\mathrm{E}$ 是 $\mathbb R$ 的一个非空子集，$\mathrm{E}$ 有最小上界 $M$，它是个实数，即 $M = \sup(\mathrm{E})$。令 $-\mathrm{E}$ 为集合：$-E =\{-x: x \in \mathrm{E}\}$，证明 $-M = \inf(-\mathrm{E})$

先证明 $-M$ 为下界。
反证法：
假设 $-M$ 不是下界，也就是说存在一个$-x_0 \in -\mathrm{E}$ 满足 $-x_0 < -M$。
所以 $x_0 > M, x_0 \in \mathrm{E}$ 这与 $M$ 是 $\mathrm{E}$ 的上界矛盾。所以 $-M$ 是下界。

再证明 $-M$ 是最大下界。
反证法：
假设 $-M$ 不是最大下界，也就是说存在 $-M'$ 满足 $-M' < -M$ ，并且 $\forall -x \in -\mathrm{E}, -x > -M'$
那么有 $\forall x \in \mathrm{E}, x < M'$ 这与$M$ 是 $\mathrm{E}$ 的最小上界矛盾。
所以 $-M$ 是最大下界。

5.5.2 设 $\mathrm{E}$ 是 $\mathbb R$ 的一个非空子集，$n \geq 1$ 是整数，并且 $L < K$ 是两个整数。假设 $K/n$ 是 $\mathrm{E}$ 的上界，但 $L / n$不是 $\mathrm{E}$ 的上界。证明存在整数 $m, L < m \leq K$ 使得 $m/n$ 是 $\mathrm{E}$ 的上界，但 $(m-1)/n$ 不是 $\mathrm{E}$ 的上界。

反证法：
假设不存在这样的整数，也就是对于任意 $L < m \leq K$ 要么 $m/n$ 和 $(m-1)/n$ 同是 $\mathrm{E}$ 的上界，要么同不是 $E$ 的上界。

当 $m = L + 1$时，因为 $(m-1)/n = L/n$ 不是 $E$ 的上界，所以 $(L+1)/n$ 也不是 $\mathrm{E}$ 的上界，所以 $(L+2)/n$ 也不是 $\mathrm{E}$ 的上界……
用数学归纳法可以证明任意 $L < m \leq K$ 都有 $m/n$ 不是 $\mathrm{E}$ 的上界。
上面已经证明了 $m = L + 1$ 时$m/n$ 不是 $\mathrm{E}$ 的上界。
假设对 $m = p, L < p \leq K$ 时， $p/n$ 不是 $\mathrm{E}$ 的上界成立。
那么对于 $m = p+1$ 时，由于 $(m-1)/n = p/n$ 不是 $\mathrm{E}$ 的上界。所以 $(p+1)/n = m/n$ 也不是 $\mathrm{E}$ 的上界。
所以任意 $L < m \leq K$ 都有 $m/n$ 不是 $\mathrm{E}$ 的上界。
而这与 $K/n$ 是 $\mathrm{E}$ 的上界矛盾。所以一定存在这样的整数 $L < m \leq K$ 满足 $m/n$ 是 $\mathrm{E}$ 的上界，但 $(m-1)/n$ 不是 $\mathrm{E}$ 的上界。

5.5.3 设 $\mathrm{E}$ 是 $\mathbb R$ 的一个非空子集，$n \geq 1$ 是整数，并设 $m, m'$ 是具有下述性质的整数：$m/n$ 和 $m'/n$ 是 $\mathrm{E}$ 的上界，$(m-1)/n$ 和 $(m'-1)/n$ 不是 $\mathrm{E}$ 的上界。证明 $m = m'$。

证明，根据上界的性质，有：

$$\frac{m}{n} > \frac{m'-1}{n}\\ \frac{m'}{n} > \frac{m-1}{n}$$

所以：

$$m > m'-1\\ m' > m - 1$$

假设 $m \neq m'$
那么

$$m > m'-1 \Rightarrow m > m' \\ m‘ > m-1 \Rightarrow m’ > m$$
导致矛盾，所以 $m = m'$。

5.5.4 设 $q_1, q_2, q_3, \cdots$ 是比例数序列，并具有这样的性质：只要 $M \geq 1$ 是整数，并且 $n, n' \geq M$，就有 $|q_n - q_{n'}| \leq \frac{1}{M}$。证明 $q_1, q_2, q_3, \cdots$ 是 Cauchy 序列，进而证明：如果 $S:=\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty} q_n$，那么对于每个 $M \geq 1$，都有 $|q_M - S| \leq 1/M$

先证明 $q_1, q_2, q_3, \cdots$ 是 Cauchy 序列。
对于任意的 $\varepsilon > 0$ 都存在一个自然数 $N$ 满足：

$$N > \frac{1}{\varepsilon}\\ \frac{1}{N} < \varepsilon$$

当 $n, n' > N$ 时，有

$$|q_n - q_{n'}| \leq \frac{1}{N} < \varepsilon$$
所以 $q_1, q_2, q_3, \cdots$ 是 Cauchy 序列。

证明如果 $S:=\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty} q_n$，那么对于每个 $M \geq 1$，都有

$$|q_M - S| \leq \frac{1}{M}$$

对任意的自然数 $M$，$q_M$ 等价于 Cauchy 序列 $q_M, q_M, q_M, \cdots$
所以 $|q_M - S|$ 等价于 Cauchy 序列 $|q_M - q_1|, |q_M - q_2|, |q_M - q_3|, \cdots$
我们知道一个 Cauchy 序列去掉前面有限项之后得到的序列是与原序列等价的。
所以 $|q_M - S|$ 等价于 Cauchy 序列 $|q_M - q_{M+1}|, |q_M - q_{M+2}|, |q_M - q_{M+3}|, \cdots$
设 $p_n = |q_M - q_{M+n}|$ ，那么$|q_M - S| = \mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty} p_n$
对任意的正整数 $n$，都有 $p_n \leq 1/M$，所以 $\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty} p_n \leq 1/M$， 即：

$$|q_M - S| \leq \frac{1}{M}$$