超实数系*R的引来

超实数系*R的引入

走进中学数学课堂，老师在黑板上划一条几何直线。对同学们提问：在这条直线上，有没有两个无限接近的点？同学们立刻哗然，今天老师是不是“头脑发疯”了？

老师对同学们说：现代量子物理学研究表明，空间中存在最短的“线段”（普朗克长度）。在几何直线上，如果两个点的距离小于这个最短的线段，那么，这两个点就叫做“无限接近”。在直观上，同学们很容易接受这种说法。

然后，老师再对同学们说：这种几何直线就是1965年美国数学家罗宾逊引入的“超直线”（也叫”超实数“），不会导致逻辑矛盾。由此，引入定义“：与原点O”无限接近“的数（点）叫”无穷小“，非零无穷小的倒数称为”无穷大“。

当一个动点x无限接近某个固定点A时，称动点x以固定点A为”极限“。由此，无穷小微积分就容易讲解了。但是，在我国中学数学课程中，老师为什么不敢提出这种”无穷小微积分“的概念？其主要原因是：无穷小概念直接违反了老祖宗阿基米德的长度”公设“。

中学生学习一点新东西，天不会塌下来。实际情况是：几何直线可以容纳多种数学结构，远非只有标准实数R一种数系。当前，美国中学生一般都接受了超实数*R的概念。

说明：在超直线上，”无限接近“是一种等价关系，有传递性。无限接近的点构成一个”单子“（Monad），这是莱布尼兹的概念。在有限单子中只有一个”标准实数“，这等价于实数系的完备性。

袁萌 6月24日