超实数系*R的新特点是什么
首先，让我们这样假定：把超实数系*R（读“星R”）按照数的大小顺序安放在OX坐标轴上，构建一条“超实数轴”（所谓超实数“连续统）。此刻，这一切都是在我们的想象中完成的。另外，如何比较超实数的大小顺序，在此我们暂时省略，不去细究。
我们知道，超实数系*R是原有实数系R的一种”扩大“（Enlargement）。在超实数系*R里面，新产生的超实数x与原有实数r相互”混杂“在一起，现在，我们引入一个非常重要的概念（或定义）：如果超实数x（假定其有限）与原有实数r相差是”无穷小“（不论正或负），则称该实数r是超实数x的”标准部分“（Standardpart），记为：
(1) st(x)= r
这是一个重要的基本概念，我们必须牢固掌握。现在问：对于任意的一个有限超实数x而言，它可能有几个“标准部分”呢？首先，我们可以断定，对于任意的有限超实数x而言，其标准部分只能是唯一的（如果有的话）。因为，假定r与s都是超实数x的标准部分，那么，┃x-r┃与┃x-s┃都是无穷小，从而导致r与s相差也必是无穷小（何故也？），于是，只有一种可能性：
┃r-s┃=0
也就是说：r= s。
我们再问：有限超实数x是否必然有一个标准部分？也就是说，对任意有限超实数x而言，是否都能进行”st”运算，求其标准部分st(x)？这是不能回避的重要问题。任给一个有限的超实数x，考虑小于它的一切实数所构成的集合A。该集合A内部的任何两个实数之间的所有实数必然也属于A，所以集合A必然是一个“区间”。根据实数系的“完备性”（此处不深究），那么，该集合A必然呈现(-∝，r)或(-∝，r]两种形态，其中r为某个原有的实数。实际上，这个实数r就是超实数x的标准部分，这是由于在r与x之间不可能再存在任何实数t，使得r<t（因为t∉A），这将导致x≤t，因为，按照上述假定，t必须小于等于r。因此，x与r相差为“无穷小”，即st(x)= r。
由此，我们已经能够猜出：如果x≈ r（表示两者相差一个“无穷小”），此处r是x的标准部分，我们就说：”x无限趋近于r“。在超实数系*R里面，这种说法就不算“废话”了。
我们考虑函数f(x)在实数r处的极限问题，即要求当x≈r，有f(x)≈L（某个固定的实数）即可。也就是说，只需要求：st(x)=r⇒st(f(x))=L，这就表示函数f(x)在r处的“极限”是L。由此不难想象：微积分的教学（限量词的“绕口令”）是如何得以简化了。也就是说，多个限量词（如：∀∃∀）的问题终于不见了。教师讲课也随便多了，比如说：当x无限地趋向于实数r时，函数f(x)无限接近极限L，等等。在超实数系*R里面，这些直观的说法都是允许的，“言之有物”。这里的问题是，函数f(x)的定义域不知不觉地扩大到超实数系*R里面去了。这是怎么搞的？对于超实数，函数f(x)是怎样定义的？这就要深入到所谓“非标准微积分”的研究领域了。且听下回分解也。