直线的参数方程的应用题型
前言
本博文适合参数方程学习结束后使用或二轮复习使用。
直线，这种常见常用的数学对象或几何图形，在高中阶段使用的频度非常高。在立体几何中，我们研究过直线的五种形式：
点斜式：(y-y_1=k(x-x_1))(其中(l)过定点(P_1(x_1，y_1))，斜率为(k))；
斜截式：(y=kx+b)((k)是斜率，(b)是(y)截距)；
两点式：(cfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=cfrac{x-x_1}{x_2-x_1}(x_1 eq x_2，y_1 eq y_2)) (两点是(P_1(x_1，y_1)、P_2(x_2，y_2)))；
截距式：(cfrac{x}{a}+cfrac{y}{b}=1(a eq 0，b eq 0)) ((a,b)分别是横截距和纵截距)；
一般式：(Ax+By+C=0)；
以上的五种形式，可以统一称为直线的普通方程。
直线的普通方程是用代数式直接表示点的坐标之间的关系，在某些时候有其特有的便利性；但不是所有的时候使用直线的普通方程都方便，在后续的学习中我们还需要引入直线的参数式方程，从其他的角度来研究和刻画直线，直线的参数方程是借助于参数间接地反映点的坐标之间的关系，其特点是没有直接体现曲线上的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系，其缺点是由参数方程，我们往往不能直观的认知曲线的类型是不是直线，但其优点相比普通方程，参数方程能快速实现变量集中，更方便我们用函数的方法来研究解决问题。
常见形式
由于参数的引入方法不一样，所以直线的参数方程有好多种形式，比如：
形式①：直线的参数方程 (left{egin{array}{l}{x=x_0+cos hetacdot t}\{y=y_0+sin hetacdot t}end{array} ight.) ((t) 为参数)
形式②：直线的参数方程 (left{egin{array}{l}{x=cfrac{x_1+lambda x_2}{1+lambda}}\{y=cfrac{y_1+lambda y_2}{1+lambda}}end{array} ight.) ((lambda) 为参数，(lambda eq -1))
形式③：直线的参数方程 (left{egin{array}{l}x=cfrac{1-t}{1+t} \y=cfrac{2t}{1+t} end{array} ight.) ((t) 为参数)
形式④： (cdots)， (cdots)，
重点掌握
以上的直线的参数方程的形式虽然说非常多，但是教材和考纲要求我们掌握的只有一种形式， (left{egin{array}{l}{x=x_0+cos hetacdot t}\{y=y_0+sin hetacdot t}end{array} ight.) ((t) 为参数)，那么为什么学习其他的类型呢，就是要引导我们体会直线的参数方程的多样性，当参数设置的不一样时，得到的参数方程也不一样，这样就能活化思维，当然难度也就上升了。
应用类型
求直线和曲线的交点
(1). 写出直线 (l) 的参数方程；
解析： 由于直线 (l) 过点 (P(1,2),) 且它的倾斜角 ( heta=135^{circ},) 所以 它的参数方程可以写成
即
(2). 求直线 (l) 与直线 (y=x) 的交点坐标.
解析：把直线的参数方程 (left{egin{array}{l}x=1-cfrac{sqrt{2}}{2} t,\ y=2+cfrac{sqrt{2}}{2}tend{array}quad ight.) 代入直线的普通方程 (y=x)，得
即 (t=-cfrac{sqrt{2}}{2})，把 (t=-cfrac{sqrt{2}}{2}) 代人 (left{egin{array}{l}x=1-cfrac{sqrt{2}}{2}t,\ y=2+cfrac{sqrt{2}}{2} tend{array} ight.)，
得到两直线的交点为 ((cfrac{3}{2}, cfrac{3}{2})).
解后反思：① 本题目的另一种思路和解法，将直线 (l) 的参数方程消去参数，得到普通方程为 (x+y-3=0)，联立 (left{egin{array}{l}{x+y-3=0}\{y=x}end{array} ight.)，也可得到两直线的交点为 ((cfrac{3}{2}, cfrac{3}{2})). 看到这里，也不要对上述的解法嗤之以鼻，认为没有存在的价值，试问，万一人家给的直线的参数方程，你不能顺利消去参数，得不到普通方程时，上述的解法不就发挥作用了吗。
②若求直线 (l) 与直线 (2x-3y+1=0)的交点坐标呢？ 提示：仿上完成，((cfrac{8}{5},cfrac{7}{5}))；
③若求直线与曲线 (x^2+y^2-9x+2y=0)的交点坐标。
提示：将直线的参数方程 (left{egin{array}{l}x=1-cfrac{sqrt{2}}{2}t,\ y=2+cfrac{sqrt{2}}{2}tend{array}quad ight.) 代入曲线的普通方程 (x^2+y^2-9x+2y=0)，
整理得到，关于 (t) 的一元二次方程 (t^2+cfrac{sqrt{13}}{2}t=0)，
解得，(t=0) 或 (t=-cfrac{sqrt{13}}{2})，
将 (t=0) 代入直线的参数方程 (left{egin{array}{l}x=1-cfrac{sqrt{2}}{2}t,\ y=2+cfrac{sqrt{2}}{2}tend{array}quad ight.) 得到(left{egin{array}{l}x=1,\ y=2end{array}quad ight.)
将 (t=-cfrac{sqrt{13}}{2}) 代入直线的参数方程 (left{egin{array}{l}x=1-cfrac{sqrt{2}}{2}t,\ y=2+cfrac{sqrt{2}}{2}tend{array}quad ight.) 得到(left{egin{array}{l}x=cfrac{15}{2}=7.5,\ y=-cfrac{9}{2}=-4.5end{array}quad ight.)
故交点坐标为 ((1,2)) 或 ((7.5,-4.5))；
解析： 直线的参数方程为 (left{egin{array}{l}x=1+cfrac{4}{5}t\ y=cfrac{3}{5}tend{array} ight.) ( (t) 是参数)，
代入抛物线方程得 (9t^{2}-20t-25=0)， 中点 (M) 的相应参数为 (t=cfrac{1}{2} imescfrac{20}{9}=cfrac{10}{9})，
点 (M) 的坐标是 ((cfrac{17}{9}, cfrac{2}{3}))，
求直线上距离定点为定长的点的坐标；
解析：将非标准形式 (left{egin{array}{l}{x=-2-sqrt{2}t}\{y=3+sqrt{2}t}end{array} ight.) 变形为直线的参数方程的标准形式 (left{egin{array}{l}{x=-2-cfrac{sqrt{2}}{2}(2t)}\{y=3+cfrac{sqrt{2}}{2}(2t)}end{array} ight.)
则此时相当于坐标为 ((-2,3)) 的点的一维坐标为 (0)，坐标为((?,?))的点的一维坐标为 (2t)，
故有 (|2t|=sqrt{2})，解得 (t=pmcfrac{sqrt{2}}{2})，
将其代入直线的参数方程，得到所求点的坐标为 ((-3,4)) 或 ((-1,2)) .
解后反思：此题目还可以转化为普通方程求解，但求解过程会非常麻烦，由此也可以看出采用参数方程求解问题的算理上的优越性。
求直线和曲线相交后得到的弦长；
解析：将直线的参数方程 (left{egin{array}{l}x=-cfrac{sqrt{3}}{2} t\y=2+cfrac{t}{2}end{array} ight.) ((t) 为参数)代人曲线方程 (y^{2}-3 x^{2}=0)，
得 (t^{2}-t-2=0)，解得 (t_{1}=2)， (t_{2}=-1)，
由参数的儿何意义知，截得的线段长为 (|t_1-t_2|=|2-(-1)|=3).
解析：直线的参数方程 (left{egin{array}{l}x=1+2t\y=3tend{array} ight.) 可以化成 (left{egin{array}{l}x=1+cfrac{2}{sqrt{13}}(sqrt{13}t)\y=cfrac{3}{sqrt{13}}(sqrt{13} t)end{array} ight.,)
将直线方程 (left{egin{array}{l}x=1+2t\y=3 tend{array} ight.,) 代人 (y^{2}=3x)，
得 (3t^{2}-2t-1=0)， 解得 (t_{1}=-cfrac{1}{3}, t_{2}=1)，
由参数的儿何意义知,所得的弦长为 (sqrt{13}|t_{2}-t_{1}|=cfrac{4sqrt{13}}{3}).
⑴.求圆的直角坐标方程；
解析：(x^2+(y-sqrt{5})^2=5)；
⑵.设圆(C)与直线(l)交于点(A、B)，若点(P)的坐标为((3，sqrt{5}))，求(|PA|+|PB|).
思路一：将直线和圆的直角坐标方程联立，求得交点(A、B)的坐标，能否用两点间的坐标公式求解(|PA|+|PB|).
思路二：利用直线参数方程的参数的几何意义，
将直线的参数方程(egin{cases} x=3-cfrac{sqrt{2}}{2}cdot t \ y=sqrt{5}+cfrac{sqrt{2}}{2}cdot t end{cases}(t为参数))代入圆的直角坐标方程，
得到((3-cfrac{sqrt{2}}{2}cdot t)^2+(sqrt{5}+cfrac{sqrt{2}}{2}cdot t -sqrt{5})^2=5)整理为(t^2-3sqrt{2}t+4=0)，
由于(Delta >0)，故可设点(A、B)分别对应参数(t_1，t_2)，
则(egin{cases} t_1+ t_2=3sqrt{2} \ t_1 imes t_2=4 end{cases})，
由此可以看出(t_1>0，t_2>0)，故(|PA|=t_1，|PB|=t_2)，所以(|PA|+|PB|=3sqrt{2}).
求直线和曲线相交后得到的弦长的取值范围；此题目的解答可以更好的回答为什么要学习直线的参数方程。你可以思考若借助普通方程如何解得求弦长的取值范围。
（1）求圆(C)的极坐标方程。
分析：圆(C)的圆心(C(sqrt{2}，cfrac{pi}{4}))，得(C)的直角坐标为((1,1))，
所以圆(C)的直角坐标方程为((x-1)^2+(y-1)^2=3)，
将( ho cos heta=x)，( ho sin heta=y)代入上式，整理得到，
圆(C)的极坐标方程为( ho^2-2 ho cos heta-2 ho sin heta-1=0)。
（2）若(alpha in[0，cfrac{pi}{4}])，直线(l)的参数方程为(egin{cases} x=2+cosalphacdot t \ y=2+sinalphacdot t end{cases} (t为参数))，直线(l)交圆(C)于(A、B)两点，求弦长(|AB|)的取值范围。
分析：将直线的参数方程 (egin{cases} x=2+cosalphacdot t \ y=2+sinalphacdot t end{cases}) ((t)为参数)
代入圆(C)的直角坐标方程为((x-1)^2+(y-1)^2=3)，
化简整理，得到(t^2+2(cosalpha+sinalpha)t-1=0)，
则有(Delta=4(cosalpha+sinalpha)^2+4>0)，设(A、B)两点对应的参数分别为(t_1，t_2)，
则由韦达定理可知，(t_1+t_2= -2(cosalpha+sinalpha)，t_1cdot t_2= -1)
所以弦长(|AB|=|t_1-t_2|=sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=sqrt{8+4sin2alpha})，
由于(alpha in[0,cfrac{pi}{4}])，所以(sin2alphain[0，1])，(8+4sin2alphain[8，12])，
所以弦长(|AB|in[2sqrt{2}，2sqrt{3}])。
利用切割线定理求切线长
(1). 求弦长 (|AB|)；
解析： 将直线 (l) 的参数方程代入圆的普通方程，
得 ((-4+cfrac{sqrt{3}}{2}t)^{2}+(cfrac{1}{2}t)^{2}=7)，
整理得 (t^{2}-4sqrt{3}t+9=0).
显然 (Delta>0)，设 (A) 和 (B) 两点对应的参数分别为 (t_{1}) 和 (t_{2})，
由根与系数的关系得 (t_{1}+t_{2}=4sqrt{3})， (t_{1}cdot t_{2}=9,)
所以 (|AB|=|t_{2}-t_{1}|=sqrt{left(t_{1}+t_{2} ight)^{2}-4t_{1}t_{2}}=2sqrt{3}).
(2). 过 (P_{0}) 作圆的切线，求切线的长；
解：设圆过 (P_{0}) 的切线为 (P_{0}T)， 切点为(T) 在圆上，则切割线定理可知 (|P_{0}T|^{2}=|P_{0}A|cdot|P_{0}B|)
故有， (|P_{0}T|^{2}=|P_{0}A|cdot|P_{0}B|=|t_{1}t_{2}|=9)，
所以切线长(|P_{0}T|=3)，
(3). 求 (|P_{0}A|) 和 (|P_{0}B|) 的长；
解：解方程 (t^{2}-4sqrt{3}t+9=0)，
得 (t_{1}=3 sqrt{3}, t_{2}=sqrt{3})，
所以 (|P_{0}A|=3sqrt{3})， (|P_{0}B|=sqrt{3}).
(4). 求交点 (A)， (B) 的坐标.
解：将 (t_{1}=3sqrt{3})， (t_{2}=sqrt{3}) 代入直线的参数方程,
得点 (A) 的坐标为 ((cfrac{1}{2}, cfrac{3sqrt{3}}{2}))， 点 (B) 的坐标为 ((-cfrac{5}{2}, cfrac{sqrt{3}}{2})).
判断曲线之间的位置关系
[法1]：使用普通方程，从数的角度思考求解，
对直线用代入法或作比法消参，得到(y= analphacdot x)，
对圆用移项平方相加得到，((x-4)^2+y^2=4)，
联立两式，由直线和圆相切，得到(Delta=0)，求得 ( analpha=pm cfrac{sqrt{3}}{3})，
由 (0leqslant alpha<pi)，得到倾斜角 (alpha=cfrac{pi}{6}) 或 (alpha=cfrac{pi}{6}) ；
[法2]：使用普通方程，从形的角度思考求解，
对直线用代入法或作比法消参，得到(y= analphacdot x)，
对圆用移项平方相加得到，((x-4)^2+y^2=4)，
由直线和圆相切，则圆心到直线的距离 (d) 和圆的半径 (r) 有关系: (d=r=2)，
又 (d=cfrac{|4 analpha|}{sqrt{1+ an^2alpha}}=2)，求得 ( analpha=pm cfrac{sqrt{3}}{3})，
由 (0leqslant alpha<pi)，得到倾斜角 (alpha=cfrac{pi}{6}) 或 (alpha=cfrac{pi}{6}) ；
[法3]：使用参数方程，从数的角度思考求解，
将圆消参，得到 ((x-4)^2+y^2=4)，
将直线的参数方程 (left{egin{array}{l}x=tcdot cosalpha\y=tcdotsinalphaend{array} ight.) 代入 ((x-4)^2+y^2=4)，
整理得到，(t^2-8cosalphacdot t+12=0)，
由于直线和圆相切，得到(Delta=0)，
即(Delta=64cos^2alpha-48=0)，解得 (cosalpha=pmcfrac{sqrt{3}}{2})，
由 (0leqslant alpha<pi)，得到倾斜角 (alpha=cfrac{pi}{6}) 或 (alpha=cfrac{pi}{6}) ；
[法1]：提示，使用普通方程，从数的角度思考求解，联立消元，得到 (cfrac{25}{9}y^2-4=0)[或由 (Delta >0)]，求得两组解，故相交；
[法2]：提示，利用 (d<r)判定，相交；
[法3]：将 (left{egin{array}{l}x=2cos heta\y=2sin hetaend{array} ight.) 代入 (3x-4y=0) ，得到 (5sin( heta-phi)=0)，其中( anphi=cfrac{3}{4})，
由于方程 (5sin( heta-phi)=0) 必有两解 ( heta-phi=0) 和 ( heta-phi=pi)，故直线和圆相交；
法3的对照引申：曲线 (C：) (left{egin{array}{l}x=2cos heta\y=2sin hetaend{array} ight.) ，直线 (l:) (3x-4y-9=0)，则利用法3，
得到 (5sin( heta-phi)-9=0)，由于方程无解，故可得 (C) 与 (l) 相离；
拓宽思维
[法1]： 用普通方程求解，先求得直线 (AB：x-3y+11=0)，
联立 (left{egin{array}{l}2x-3y+1=0\x-3y+11=0end{array} ight. ，) 求解得到交点坐标 ((10,7))，
[法2]： 用参数方程求解[用比值做参数]，由于直线经过点 (A(-2,3))， (B(4,5)) ，
由直线的两点式得到 (cfrac{x-4}{4+2}=cfrac{y-5}{5-3})，
令 (cfrac{x-4}{6}=cfrac{y-5}{2}=t)，则得到直线的参数方程为 (left{egin{array}{l}x=4+6t\y=5+2tend{array} ight.) ( (t) 为参数)，
将其代入 (2x-3y+1=0)，得到 (t=1)，
再代入 (left{egin{array}{l}x=4+6t\y=5+2tend{array} ight.) 求解得到交点坐标 ((10,7))，
[法3]： 用参数方程求解[用比值做参数]，设直线 (AB) 上动点 (P(x,y))，选取参数 (lambda=cfrac{AP}{PB})，
则直线 (AB) 的参数方程为 (left{egin{array}{l}x=cfrac{-2+4lambda}{1+lambda}\y=cfrac{3+5lambda}{1+lambda}end{array} ight.) ( (lambda) 为参数，且 (lambda eq -1))，
将其代入 (2x-3y+1=0)，整理得到 (6lambda+12=0)，解得 (lambda=-2)，
再将其代入 (left{egin{array}{l}x=cfrac{-2+4lambda}{1+lambda}\y=cfrac{3+5lambda}{1+lambda}end{array} ight.) ，
求得 (x=10)，(y=7)，即求解得到交点坐标 ((10,7)).
综合应用
(1). 求弦 (BC) 的长；
(2). 当 (A) 恰为 (BC) 的中点时，求直线 (BC) 的方程；
(3). 当 (|BC|=8) 时，求直线 (B C) 的方程；
(4). 当 (alpha) 变化时，求动弦 (BC) 的中点 (M) 的轨迹方程.
解析： 取 (AP=t) 为参数 ( (P) 为 (l) 上的动点 )，
则 (l) 的参数方程为 (left{egin{array}{l}x=-3+tcosalpha\y=-cfrac{3}{2}+tsinalphaend{array} ight.)
代入 (x^{2}+y^{2}=25)，整理，得 (t^{2}-3(2cosalpha+sinalpha)t-cfrac{55}{4}=0)，
由于(Delta=9(2cosalpha+sinalpha)^{2}+55>0) 恒成立.
所以方程必有相异两实根 (t_{1})， (t_{2})，
且 (t_{1}+t_{2}=3(2cosalpha+sinalpha))， (t_{1}cdot t_{2}=-cfrac{55}{4})，
(1). (|BC|=|t_{1}-t_{2}|=sqrt{(t_{1}+t_{2})^{2}-4t_{1}t_{2}})
(=sqrt{9(2cosalpha+sinalpha)^{2}+55})，
(2). 由于 (A) 为 (BC) 中点， (t_{1}+t_{2}=0)，
即 (2cosalpha+sinalpha=0)， ( analpha=-2)，
故直线 (BC) 的方程为 (y+cfrac{3}{2}=-2(x+3))， 即 (4x+2y+15=0).
(3). (|BC|=sqrt{9(2cosalpha+sin alpha)^{2}+55}=8)，
变形得到，((2cosalpha+sinalpha)^{2}=1)，
解得 (cosalpha=0) 或 ( analpha=-cfrac{3}{4})，
直线 (BC) 的方程是 (x=-3) 或 (3x+4y+15=0).
(4). 由于 (BC) 的中点 (M) 对应的参数是 (t=cfrac{t_{1}+t_{2}}{2}=cfrac{3}{2}(2cosalpha+sinalpha)),
所以点 (M) 的轨迹方程为 (left{egin{array}{l}x=-3+cfrac{3}{2}cosalpha(2cosalpha+sinalpha)\y=-cfrac{3}{2}+cfrac{3}{2}sinalpha(2cos alpha+sinalpha)end{array} ight.) ( (0 leqslant alpha<pi) )
所以 (left{egin{array}{l}x+cfrac{3}{2}=cfrac{3}{2}(cos2alpha+cfrac{1}{2}sin2alpha)\y+cfrac{3}{4}=cfrac{3}{2}(sin2alpha-cfrac{1}{2}cos2alpha)end{array} ight.)
所以 ((x+cfrac{3}{2})^{2}+(y+cfrac{3}{4})^{2}=cfrac{45}{16})，
即点 (M) 的轨迹是以 ((-cfrac{3}{2},-cfrac{3}{4})) 为圆心，以 (cfrac{3sqrt{5}}{4}) 为半径的圆.