一个判断点是否在参数方程接续可微的封闭曲线界定的区域之内的好概念

先把标题放在这里,内容我慢慢准备,一点点添加1.

一个简单的例子

从最简单的情况出发,连续可微的封闭曲线为边界的,最简单例子是”圆”.
——“什么？你忽悠我？！”
为了不至于激起不满，我临时决定把最简单的例子设定为椭圆，当然，如果椭圆的长短轴跟直角坐标系的坐标轴平行，其实也还简单，所以让它再旋转一个角度$\theta$。所以我选择了如下参数方程的椭圆：

$$\left\{\; \begin{array}{rl} x=&5 \cos t \cos \theta -3 \sin t \sin \theta \\ y=&3 \cos \theta \sin t+5 \cos t \sin \theta \\ \end{array} \right.$$

为了把曲线画出来, 让$\theta=30^o$, 从而其参数方程变为:

$$\left\{\; \begin{array}{rl} x=&\frac{1}{2} \left(5 \sqrt{3} \cos t-3 \sin t\right) \\ y=&\frac{1}{2} \left(5 \cos t+3 \sqrt{3} \sin t\right) \\ \end{array} \right.$$

ParametricPlot[RotationTransform[Pi/6][curve], {t, 0, 2 Pi}] /.  Line[x_] :> {Red, Line[x]}

要判断任给点$P=(x_0,y_0)$是不是在图中的浅蓝色区域:

不知道常用的都是什么办法? 2.
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至少对圆的情形,判断的方法是到圆心的距离跟圆的半径作比较. 但是椭圆不同了,而且旋转了$\theta$角,让自然参数$t$也不直接对应于$P$点的方位了,只是稍微增加了一点点麻烦而已,仍然可以找出椭圆上的边界点,然后对比到椭圆圆心的距离. 这个方法太原始了,而且不易推广,显然不是我想说的.

看看math.stackexchange.com上人家怎么说吧.如何确定任一点是否在二次曲线内,我当然不是为了转一个链接而卖关子. 链接里的方法主要还是对方程为隐函数$g(x,y) = Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$形式的二次曲线,利用其二次型.但仅适用于二次曲线, 还不算$C^n$类封闭曲线.

大部分情况下,参数方程更方便,而且两种形式之间互换本来也挺麻烦. 这里介绍基于椭圆的参数方程时,如何判断; 同时,把这个例子里的概念推广到更一般的高于二次的$C^\infty$曲线.

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