求曲线的对称方程

前言

典例剖析

【北师大选修教材4-4 (P_{_{19}}) (A)组第 (10) 题】求与曲线 ( hocos heta+1=0) 关于直线 ( heta=cfrac{pi}{4})对称的曲线的极坐标方程。

法1： 转化为在直角坐标系中思考求解，

( hocos heta+1=0) 的直角坐标方程为： (x+1=0)，

直线 ( heta=cfrac{pi}{4}) 的直角坐标方程为： (y=x)，

故所求的对称曲线为 (y+1=0)，即所求的极坐标方程为 ( hosin heta+1=0) .

方法延申：求直线 (x+3y-1=0) 关于 (y=x) 对称的直线的方程。

分析：由于关于(y=x) 对称，故将 (yRightarrow x)， (xRightarrow y)，得到 (y+3x-1=0).

法2：在极坐标系下，利用相关点法直接思考求解；

如图所示，在曲线 ( hocos heta+1=0) 上任取一点(P( ho_1, heta_1))，其关于直线 ( heta=cfrac{pi}{4}) 的对称点 (P'( ho, heta))，

则由图可知，(left{egin{array}{l} ho= ho_1\ heta=cfrac{pi}{2}- heta_1 end{array} ight.,) 即 (left{egin{array}{l} ho_1= ho\ heta_1=cfrac{pi}{2}- heta end{array} ight.,)

由于(P( ho_1, heta_1))满足方程 ( hocos heta+1=0) ，故代入得到 ( hocos(cfrac{pi}{2}- heta)+1=0)

即 ( hosin heta+1=0) 为所求曲线的极坐标方程.

解后反思：对于法2而言，更一般化的曲线的对称曲线，也可以采用此法求解；