无限小微积分（网络电子版）是公理化体系的典范
在世界范围内，欧氏平面几何几乎伴随着每一个现代文明人的青少年时代。上了大学，接受高等教育，还有没有类似“欧氏平面几何”公理化体系的基础课程呢？答案是肯定的，那就是当代数理逻辑模型论学者J.Keisler精心撰写的“无穷小微积分”（网络电子版）教科书。为什么？
建议你下载这本电子书（23.1MB），此书很值得保存以便日常查阅。看书要“倒”过来看，也就是说，要先看书后的“名词索引”（Index)，由此可知该书的大致内容。这是我看一本新书的习惯（或毛病）。名词索引中的新名词越多，表明该书的内容越丰富。然后就要观察书的架构了，搞清楚作者是怎么样把这些“内容点”逻辑贯穿起来的。
基于严格意义上的无穷小概念撰写现代微积分教科书，可以说，J.Keisler是世界上第一人也。也就是说，J.Keisler的“Elementary Calculus”电子书绝对是独一无二的数学精品图书（数学知识的宝库）。名词索引中的每一个“内容点”（1,300个名词术语）都是该书公理化架构的“树梢”，生长在公理化树干的“末端”，来龙去脉“一清二楚”。该书从实数连续统（Continuum)入手，引入实数的“代数公理”、“次序公理”和“完备性公理”等，然后就是延伸实数系，建立超实数系的公理系统。紧接着就是准确地陈述重要概念的“定义”，给出相应的“定理”及其逻辑证明，然后“举例”、“示意图”，最后，在每一掌节的后面留下相当丰富的“练习题”，等等。全书没有概念上的“漏洞”，即不存在逻辑上含混不清的地方。
你也许会感到奇怪，初等微积分怎么也能够“公理化”？在传统微积分教学过程中，教员往往喜欢使用手势语言，比喻手段，努力引导学生们发挥自己的想象力，去理解什么“无限地接近”，“任意的小”，“极限状态”，等等数学中的“理想现象”。结果呢？根据有关资料，在美国境内大约有一半的学生微积分过不了“关”，而且一离开学校就把微积分还给老师了。
把严格意义上的无穷小概念引进微积分的好处是：能够准确定义（或表达）什么是“无限地接近”，什么是“任意的小”，什么是“极限状态”，等等，使得学生们真正“懂得”微积分而不是一知半解地“了解“微积分”。比如，导数定义与定积分的存在性证明是不可缺少的，不能“一提而过”。再比如：如果实数集A内的任意两个实数x、y之间的实数z均在集合A里面，那么，集合A必定是实数系的一个”区间“。这个结论就是实数系的”完备性“公理。由此可以证明有界单调序列必有极限，以及有限超实数必有唯一的“标准部分”等等极为重要的结论（表现为“定理”）。
细细品味这本“无穷小微积分”能够使你感受到现代数学的无穷魅力。数学不是枯燥无味的条文（或教条），而是如同莫言的魔幻小说，读起来趣味无穷，爱不释手。但是，阅读国内“高等数学”教材，不知所云，如同“嚼蜡烛”，索然寡味也。中国的孩子们都很聪明，必定能够读懂、领会和接受无穷小微积分而厌烦所谓的“高等数学”教条。
请看该电子书的第一章第二节（第6页）关于实数函数的定义，由此，可以欣赏到法国布尔巴基学派的现代数学风格。反观我们国内的函数定义还是一百年前的“老皇历”。......我们的孩子们要向现代科学进军，一个字：难啊！