简单实用数学

等比数列的通项公式：(a_n=a_1q^{n-1})

求和公式: (S_n=frac{a_1(1-q^n)}{1-q} (q eq 1) )

等差数列的通项公式: (a_n=a_1+(n-1)d)

求和公式：(S_n=na_1+frac{n(n-1)}{2}d)

特征值和特征向量：

设 A 是 n 阶方阵，若有数$lambda$ 和非零向量 $x$ ，使得

$Ax = lambda x$

称数$lambda$ 是 A 的特征值，非零向量 x 是 A 对应于特征值 $lambda$ 的特征向量。

求法：先用行列式$|A-lambda E| = 0$求出特征值，然后再求出特征向量。$E$是单位矩阵。

2阶矩阵的行列式：$egin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \
a_{2,1} & a_{2,2} end{vmatrix} = a_{1,1} a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}$
3阶矩阵的行列式：$displaystyle egin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} end{vmatrix} = a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+ a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} - a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2} - a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}$

协方差矩阵：

假设X是以n个标量随机变量组成的列向量，

$X = egin{bmatrix}X_1 \ vdots \ X_n end{bmatrix}$
并且$mu_i$是其第i个元素的期望值，即, $mu_i = mathrm{E}(X_i)$。协方差矩阵被定义的第i，j项是如下：

$Sigma_{ij}
= mathrm{cov}(X_i, X_j) = mathrm{E}egin{bmatrix}
(X_i - mu_i)(X_j - mu_j)
end{bmatrix}$
即：

$Sigma=mathrm{E}
left[
left(
extbf{X} - mathrm{E}[ extbf{X}]
ight)
left(
extbf{X} - mathrm{E}[ extbf{X}]
ight)^ op
ight]$

解一元二次方程：

因式分解法
把一个一元二次方程变形成一般形式$ax^2+bx+c=0\,!$后，如果$ax^2+bx+c=0\,!$能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0\,!$存在两个实根$x_1,x_2，$那么它可以因式分解为$a(x-x_1)(x-x_2)=0\,!$。

例如，解一元二次方程

$x^2-3x+2=0$
时，可将原方程左边分解成$left (x-1 ight)left (x-2 ight)=0。$所以$x-1=0 quad x-2=0，$可解得$x_1=1 quad x_2=2$。

公式解法
对于$ax^2+bx+c=0 qquad left(a e 0 ight)$，它的根可以表示为：

$x_{1,2}=frac{-b pm sqrt {b^2-4ac }}{2a}$.

三角形性质：

设a、b为所知的两边，C为该夹角，三角形面积$S=frac{1}{2}absin{C}$。

已知三边长
希罗公式（又称海伦公式）：设p等于三角形三边和的一半：
$p=frac{a+b+c}{2}$
则
$S = sqrt{pleft(p-a ight)left(p-b ight)left(p-c ight)}$

余弦定理：
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccdotcosalpha$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2accdotcoseta$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcdotcosgamma$

三角不等式：
三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果两者相等，则是退化三角形。
三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

正弦定理是三角学中的一个定理。它指出：对于任意$ riangle ABC$，a、b、c分别为$angle A$、$angle B$、$angle C$的对边，R为$ riangle ABC$的外接圆半径，则有
$frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B}=frac{c}{sin C}=2R$

$sin^2!x + cos^2!x = 1,\,$
$sin(x+y) = sin!xcos!y + cos!xsin!y,\,$
$cos(x+y) = cos!xcos!y - sin!xsin!y,\,$

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