[04/04/20] 抽象圣经笔记#1
作为学习抽象圣经的预备知识，我们要先了解集合的概念，基本性质和运算规律。
I.概念
a.所谓集合，就是某一些事物的全体，如整数集表示整数全体。集合常常用大写英文字母 (A,B,C) 来表示。
b.集合内某一固定的事物称为元素，如整数集中的 (1) 。元素常常用小写英文字母 (a,b,c) 来表示。
c.我们用 (in) 来表示元素与集合的属于关系，用 (a in A) 表示 (a) 为集合 (A) 中的元素。相对的，我们使用 ( otin) 或 (overline{in}) 来表示不属于关系。
d.由集合内元素个数的不同，我们将集合划分为以下三种：空集，有限集和无限集。
d.a.空集：不含任何元素，符号为 (emptyset) ，如 (8-10) 内的质数组成的集合。
d.b.有限集：含有有限个元素，如 (1-10) 内的整数组成的集合。
d.c.无限集：含有无限个元素，如整数集。
e.若集合 (A) 中的所有元素均属于集合 (B) ，则称集合 (A) 为集合 (B) 的子集，记作 (Asubseteq B) 。若集合 (A,B) 具有相同的元素，则称为相等。即数学上若有 (Asubseteq B) 且 (Bsubseteq A) ，可得到 (A=B) 。
f.集合内的通用表示方法为： (A={ ain S) | (P(a)})。此指 (A) 中的元素来自于集合 (S) (注意到若 (S) 唯一则必有 (A subseteq S))，且具有性质 (P) 。为方便理解可认为集合 (A) 具有性质 (P) ，若 (ain A) 则 (a) 也具有性质 (P) 。
g.集合的基本运算：交与并
g.tip：集合中元素只论种类，不论个数。即若有元素 (a,b) 完全相同，视为同一元素。（去重）
[定义(1.1)]
g.a.并：(A,B) 中所有元素组成的集合 (C) 称为 (A) 与 (B) 的并，记作 (C=Aigcup B={x|xin Aigvee xin B})。
[定义(1.2)]
g.b.交：(A) 与 (B) 共有的元素组成的集合 (D) 称为 (A) 与 (B) 的交，记作 (D=Aigcap B={x|xin Aigwedge xin B})。
[定义(1.3)]
h.设 (B) 是 (A) 的子集，定义 (A-B) (()亦作 (A) (B))为 (B) 在 (A) 中的补集或余集，记作 (A-B={x|xin A,xoverline{in}B})。
i.常见数集
(mathbb{Z}) 整数集.
(mathbb{N}) 自然数集.
(mathbb Q) 有理数集.
(mathbb R) 实数集.
(mathbb C) 负数集.
$mathbb A^* $ 集 (mathbb A) 的非零部分.
$mathbb A_+ $ 集 (mathbb A) 的正数部分.
II.基本性质和运算规律
[命题(1.1)] 关于集合有以下性质：
a.若 (Asubseteq B)，则 (Aigcap B=A)，(Aigcup B=B)，特别的，有 (Aigcap A=Aigcup A=A).
b.(Aigcup B=Bigcup A)，(Aigcap B=Bigcap A).
c.((Aigcup B)igcup C=Aigcup (Bigcup C))，((Aigcap B)igcap C=Aigcap (Bigcap C)).
d.(Aigcup (Bigcap C)=(Aigcup B)igcap (Aigcup C))，(Aigcap (Bigcup C)=(Aigcap B)igcup (Aigcap C)).
e.若 (A,Bsubseteq C)，有：
e.a.(C-(C-A)=A);
e.b.(C-(Aigcap B)=(C-A)igcup (C-B));
e.c.(C-(Aigcup B)=(C-A)igcap (C-B)).
具体证明方法可借助 (Venn) 图，或使用基于定义的证明方法：由于有 (I.e) ，集合间任意运算律的命题均可写作若干 (A_isubseteq B_i) 及若干 (X_i ot= Y_i) 的形式，逐一证明即可。再具体的话就是设元素 (xin LEFT)，证 (xin RIGHT) 。
Tip：性质 b 称为交换律，性质 c 称为结合律，性质 d 称为分配律，性质 e 称为 (Morgan) 公式。
f.并与交的概念可以推广到任意多个集合上。由于结合律的成立，在书写各集合并/交的过程中省略括号。
III.指标集
a.设有一集合 (I) 与一族集合 (F={A_i|iin I})，即对于任意 (iin I)，(F) 中均有唯一的集合 (A_i) 与之对应，这样的集合 (I) 称为集族 (F) 的指标集，就是类似于现实生活中目录一般的存在。