[07/04/20] 抽象圣经笔记#3

在已经了解积集合的状态下，探究集合元素间的关系。

　　[定义(3.1)]

　　　　a.设 (A,B) 为集合，积集合 (A imes B) 的一个子集 (R) 就称为 (A) 到 (B) 的一个关系，特别的，称 (A imes A) 的子集为 (A) 上的一个关系。若 ((a,b)in R)，称 (a,b) 与 (R) 相关，记作 (aRb) 。

　　[定义(3.2)]

　　　　b.设 (R) 为 (A) 上的一个关系，若 (R) 满足以下条件：

　　　　　　b.a.自反性：若 (ain A)，有 ((a,a)in R).

　　　　　　b.b.对称性：若 ((a,b)in R)，有 ((b,a)in R).

　　　　　　b.c.传递性：若 ((a,b),(b,c)in R)，有 ((a,c)in R).

　　　　我们称 (R) 为 (A) 上的一个等价关系，常用 (sim) 表示，即将 (aRb) 记作 (asim b)。

　　Tip：(R) 即为在 (A imes B) 上加一些约束条件，如设集合 (A,B)，(A imes B={(x,y)|xin A,yin B})，(R) 的通式可以写作 (R={(x,y)in A imes B,P(x,y)})，其中 (P(x,y)) 为 (R) 的约束条件。

　　例1 设 (D) 是 (Descartes) 平面，定义：(D) 中两点 (asim b) 当且仅当 (a,b) 到原点的距离相等。则 (P(a,b)) 即 (a,b) 到原点距离相等，不难验证这是个等价关系。

　　例2 设 (H) 为全体人类的集合，定义：(H) 中两元素 (asim b) 当且仅当 (a,b) 为同性。则 (P(a,b)) 即 (a,b) 为同性，也是个等价关系。

　　Tip：至于当且仅当不需要分类（充要性）讨论，只需要验证在这个定义下 (R) 为等价条件即可。

　　a.现设 (sim) 为集合 (A) 上的一等价关系，(a) 为 (A) 内一元素，与 (a) 在 (sim) 下等价的全体元素组成 (A) 的一个子集，称为 (a) 的一个等价类，用 ([a]) 表示。

　　b.例1中 (a) 的等价类为与 (a) 在同一圆心为原点的圆上的点的全体组成的集合，例2中 (H) 只含有两个等价类，分别为男性和女性。注意表述方式的差异。

　　c.我们注意到，一集合内两互异元素所在等价类若不重合，则必不相交。即各等价类互相独立，等价类两两交集为空集，全体并集为 (A)。

　　e.由此我们看出：

　　　　e.a.若一个集合上定义了一个等价关系，则这个集合可以被划分成互不相交的子集之并。

　　　　e.b.一个集合若能被表示为互不相交的子集之并，则称这些子集族为该集合的一个分划。

　　事实上我们可导出下面一个命题：

　　[命题(3.1)]

　　　　1.设 (R) 为集合 (A) 上的一等价关系，则 (R) 决定了 (A) 的一个分划 (P)，且由 (P) 导出的等价关系即为 (R).

　　　　2.给定 (A) 的一个分划 (P)，亦能导出一个 (A) 上的等价关系 (R)，且由 (R) 决定的分划即为 (P) .

　　　　证明从略（毕竟这只是个笔记）。

　　a.设 (sim) 为集合 (A) 上的一等价关系，(A) 上所有等价类的族集合称为 (A) 关于 (sim) 的商集，记之为 (A/) 或(overline A)。

　　b.若 (ain A)，则 ([a]) 作为 (overline A) 的元素通常记为 (overline a)。