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整数划分问题（数学）

分类: IT文章 • 2022-03-30 17:56:42

整数划分问题（数学）

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);例如但n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。

下面我们考虑求f(n,m)的方法;

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（一）递归法

根据n和m的关系，考虑以下几种情况： 

       （1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

        (2)  当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

        (3)  当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

              (a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

              (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

              因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

        (4) 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);

        (5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

               (a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分

                     个数为f(n-m, m);

               (b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);

              因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

 　　　综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

         f(n, m)=       1;                                (n=1 or m=1)

                            f(n, n);                         (n<m)

                            1+ f(n, m-1);                (n=m)

                            f(n-m,m)+f(n,m-1);       (n>m)

 

          因此我们可以给出求出f(n, m)的递归函数代码如下（引用Copyright Ching-Kuang Shene July/23/1989的代码）：

 1 计算f(n,m)，即n的m划分的个数
 2 unsigned long  GetPartitionCount(int n, int max)
 3 {
 4     if (n == 1 || max == 1)
 5         return 1;
 6     else if (n < max)
 7         return compute(n, n);
 8     else if (n == max)
 9         return 1 + GetPartitionCount(n, max-1);
10     else
11         return GetPartitionCount(n,max-1) + GetPartitionCount(n-max, max);
12 }
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我们可以发现，这个命题的特征和另一个递归命题：

       “上台阶”问题（斐波那契数列）（http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2007/07/13/817188.html）

        相似，也就是说，由于树的“天然递归性”，使这类问题的解可以通过树来展现，每一个叶子节点的路径是一个解。因此把上面的函数改造一下，让所有划分装配到一个.NET类库中的TreeView控件，相关代码（c#）如下：

 1 组装TreeView
 2 /// <param name="root">树的根结点</param>
 3 /// <param name="n">被划分的整数</param>
 4 /// <param name="max">一个划分中的最大数</param>
 5 /// <returns>返回划分数，即叶子节点数</returns>
 6 private int BuildPartitionTree(TreeNode root, int n, int max)
 7 {
 8     int count=0;
 9     if( n==1)
10     {
11         //{n}即1个n
12         root.Nodes.Add(n.ToString());//{n}
13         return 1;
14     }
15     else if( max==1)
16     {
17         //{1,1,1,,1} 即n个1
18         TreeNode lastNode=root;
19         or(int j=0; j<n; j++)
20 
21         {
22             lastNode.Nodes.Add("1");
23             lastNode=lastNode.LastNode;
24         }
25         return 1;
26     }
27     else if(n<max)
28     {
29         return BuildPartitionTree(root, n, n);
30     }
31     else if(n==max)
32     {
33         root.Nodes.Add(n.ToString()); //{n}
34         count=BuildPartitionTree(root, n, max-1);
35         return count+1;
36     }
37     else
38     {
39         //包含max的分割，{max, {n-max}}
40         TreeNode node=new TreeNode(max.ToString());
41         root.Nodes.Add(node);
42         count += BuildPartitionTree(node, n-max, max);
43 
44         //不包含max的分割，即所有max-1分割
45         count += BuildPartitionTree(root, n, max-1);
46         return count;
47     }
48 }
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 如果我们要输出所有解，只需要输出所有叶子节点的路径即可，可以同样用递归函数来输出所有叶子节点（代码中使用了一个StringBuilder对象来接收所有叶子节点的路径）：

 1 获取所有叶子节点的路径
 2 private void PrintAllLeafPaths(TreeNode node)
 3 {
 4     //属于叶子节点?
 5     if(node.Nodes.Count==0)
 6         this.m_AllPartitions.AppendFormat("{0}
", node.FullPath.Replace('\',','));
 7     else
 8     {
 9         foreach(TreeNode child in node.Nodes)
10         {
11             this.PrintAllLeafPaths(child);
12         }
13     }
14 }
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整数划分问题（数学）

通过递归思路，我们给出了n的划分个数的算法，也把所有划分组装到一棵树中。好，关于递归思路我们就暂时介绍到这里。关于输出所有划分的标准代码在这里省略了，我们有时间再做详细分析。

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（二）母函数法

下面我们从另一个角度即“母函数”的角度来考虑这个问题。

        所谓母函数，即为关于x的一个多项式G（x）：

        有 G（x）= a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ...

        则我们称G（x）为序列（a0，a1，a2，...）的母函数。关于母函数的思路我们不做更多分析。

        我们从整数划分考虑，假设n的某个划分中，1的出现个数记为a1，2的个数记为a2，..., i的个数记为ai，

        显然: ak<=n/k; (0<= k <=n)

        因此n的划分数f(n,n)，也就是从1到n这n个数字中抽取这样的组合，每个数字理论上可以无限重复出现，即个数随意，使他们的总和为n。显然，数字i可以有如下可能，出现0次（即不出现），1次，2次，..., k次，等等。把数字i用(x^i)表示，出现k次的数字i用 x^(i*k)表示， 不出现用1表示。例如数字2用x^2表示，2个2用x^4表示，3个2用x^6表示，k个2用x^2k表示。

         则对于从1到N的所有可能组合结果我们可以表示为：

         G(x) = (1+x+x^2+x^3+...+x^n) (1+x^2+x^4+...) (1+x^3+x^6+...) ... (1+x^n)

                 = g(x,1) g(x,2) g(x,3) ... g(x, n)

                 = a0 + a1* x + a2* x^2 + ... + an* x^n + ... ;  （展开式）

        上面的表达式中，每一个括号内的多项式代表了数字i的参与到划分中的所有可能情况。因此该多项式展开后，由于x^a * x^b=x^(a+b)，因此 x^i 就代表了i的划分，展开后(x^i)项的系数也就是i的所有划分的个数，即f(n,n)=an （上式中g（x，i）表示数字i的所有可能出现情况）。

        由此我们找到了关于整数划分的母函数G（x）；剩下的问题是，我们需要求出G（x）的展开后的所有系数。

        为此我们首先要做多项式乘法，对于我们来说并不困难。我们把一个关于x的一元多项式用一个整数数组a[]表示，a[i]代表x^i的系数，即：

        g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a[n]x^n;

        则关于多项式乘法的代码如下，其中数组a和数组b表示两个要相乘的多项式，结果存储到数组c：

 1 多项式相乘，即c=a*b
 2 #define N 130
 3 unsigned long a[N];/*多项式a的系数数组*/
 4 unsigned long b[N];/*多项式b的系数数组*/
 5 unsigned long c[N];/*存储多项式a*b的结果*/
 6 /*两个多项式进行乘法，系数分别在a和b中，结果保存到c ，项最大次数到N */
 7 /*注意这里我们只需要计算到前N项就够了。*/
 8 void Poly()
 9 {
10     int i,j;
11     memset(c,0,sizeof(c));
12     for(i=0; i<N; i++)
13         for(j=0; j<N-i; j++) /*y<N-i： 确保i+j不会越界*/
14             c[i+j] += a[i]*b[j];
15 }
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       下面我们求出G（x）的展开结果，G（x）是n个多项式连乘的结果：

 1 计算G（x）的前N项系数
 2 /*计算出前N项系数！即g(x,1) g(x,2)... g(x,n)的展开结果*/
 3 void Init()
 4 {
 5     int i,k;
 6     memset(a,0,sizeof(a));
 7     memset(c,0,sizeof(c));
 8     for(i=0; i<N; i++) a[i]=1; /*第一个多项式：g(x, 1) = x^0 + x^1 + x^2 + x^3 +  */
 9     for(k=2; k<N; k++)
10     {
11         memset(b,0,sizeof(b));
12         for(i=0; i<N; i+=k) b[i]=1; /*第k个多项式：g(x, k) = x^0 + x^(k) + x^(2k) + x^(3k) +  */
13         Poly(); /* 多项式乘法：c= a*b */
14         memcpy(a,c,sizeof(c)); /*把相乘的结果从c复制到a中：c=a; */
15     }
16 }
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 通过以上的代码，我们就计算出了G（x）的展开后的结果，保存到数组c中。此时有：f(n,n)=c[n];剩下的工作只是把相应的数组元素输出即可。

      问题到了这里已经解决完毕。但我们发现，针对该问题，g(x,k)是一个比较特殊的多项式，特点是只有k的整数倍的索引位置有项，而其他位置都为0，具有项“稀疏”的特点，并且项次分布均匀（次数跨度为k）。这样我们就可以考虑在计算多项式乘法时，可以减少一些循环。因此可以对Poly函数做这样的一个改进，即把k作为参数传递给Poly：

 1 改进后的多项式乘法
 2 /*两个多项式进行乘法，系数分别在a和b中，结果保存到c ，项最大次数到N */
 3 /*改进后，多项式a乘以一个有特殊规律的多项式b，即b中只含有x^(k*i)项，i=0,1,2,*/
 4 /*如果b没有规律，只需要把k设为1，即与原来函数等效*/
 5 void Poly2(int k) /*参数k的含义：表示b中只有b[k*i]不为0！*/
 6 {
 7     int i,j;
 8     memset(c,0,sizeof(c));
 9     for(i=0; i<N; i++)
10         for(j=0; j<N-i; j+=k)
11             c[i+j] += a[i]*b[j];
12 }
View Code


 这样，原有的函数可以认为是k=1的情况（即多项式b不具有上诉规律）。相应的，在上面的Init函数中的调用改为Poly2(k)即可。   

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参考资料：

（1）关于“递归”部分的代码，参考了Ching-Kuang Shene，July/23/1989的代码；

（2）关于“母函数”部分，参考了《Acm程序设计》（刘春英）（PPT文档）；

（3）“母函数”方法的Init和Poly的代码，参考了某位教师的代码  : ymc 2008/09/25， 其中多项式乘法的改进是我提出的建议。

                             -- by hoodlum1980  2008-10-11 

 练习：

整数划分问题

整数划分是一个经典的问题。希望这道题会对你的组合数学的解题能力有所帮助。
Input
每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)
Output
对于每组输入，请输出六行。
第一行： 将n划分成若干正整数之和的划分数。
第二行： 将n划分成k个正整数之和的划分数。
第三行： 将n划分成最大数不超过k的划分数。
第四行： 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
第五行： 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
第六行： 打印一个空行。
Sample Input
5 2
Sample Output
7
2
3
3
3
Hint:
1、将5划分成若干正整数之和的划分为： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
2、将5划分成2个正整数之和的划分为： 3+2, 4+1
3、将5划分成最大数不超过2的划分为： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
4、将5划分成若干奇正整数之和的划分为： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
5、将5划分成若干不同整数之和的划分为： 5, 1+4, 2+3
 
 
  1 # include <stdio.h>
  2 #define N 100
  3 int a[N],b[N],c[N],d[N],e[N];
  4 int t=0,total=0,count=0;
  5 int n,p=0;
  6 
  7 int dif()
  8 {
  9     int i,j;
 10     for(i=0; i<t-1; i++)
 11         for(j=i+1; j<t; j++)
 12             if(e[i]==e[j]) return 0;
 13     return 1;
 14 }
 15 
 16 void fun()
 17 {
 18     t=0;
 19     total=0;
 20     count=0;
 21 }
 22 void fun1(int x)        // 将n划分成若干正整数之和的划分数。
 23 {
 24     int i,j;
 25     if(total==n)
 26     {
 27         count++;
 28         printf("%d=",n);
 29         for(j=0; j<t; j++)
 30         {
 31             printf("%d",a[j]);
 32             if(j<t-1) printf("+");
 33             else
 34             {
 35                 if(n-a[0]==t-1) printf("
");
 36                 else printf(",");
 37             }
 38         }
 39     }
 40     else
 41         for(i=x; i>=1; i--)
 42             if(i+total<=n)
 43             {
 44                 a[t++]=i;
 45                 total+=i;
 46                 fun1(i);
 47             }
 48     total-=a[t-1];
 49     t--;
 50 }
 51 
 52 void fun2(int x,int m)            //将n划分成k个正整数之和的划分数。
 53 {
 54     int i,j;
 55     if(total==n)
 56     {
 57         if(p==m)
 58         {
 59             count++;
 60             printf("%d=",n);
 61             for(j=0; j<t; j++)
 62             {
 63                 printf("%d",b[j]);
 64                 if(j<t-1) printf("+");
 65                 else printf("
");
 66             }
 67         }
 68     }
 69     else
 70         for(i=x; i>=1; i--)
 71             if(i+total<=n)
 72             {
 73                 b[t++]=i;
 74                 p++;
 75                 total+=i;
 76                 fun2(i,m);
 77             }
 78     total-=b[t-1];
 79     t--;
 80     p--;
 81 }
 82 
 83 void fun3(int x,int m)         //将n划分成最大数不超过k的划分数。
 84 {
 85     int i,j;
 86     if(total==n)
 87     {
 88         count++;
 89         printf("%d=",n);
 90         for(j=0; j<t; j++)
 91         {
 92             printf("%d",c[j]);
 93             if(j<t-1) printf("+");
 94             else
 95             {
 96                 if(n-c[0]==t-1) printf("
");
 97                 else printf(",");
 98             }
 99         }
100     }
101     else
102         for(i=m; i>=1; i--)
103             if(i+total<=n)
104             {
105                 c[t++]=i;
106                 total+=i;
107                 fun3(i,m);
108             }
109     total-=c[t-1];
110     t--;
111 }
112 
113 void fun4(int x)           //将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
114 {
115     int i,j;
116     if(total==n)
117     {
118         count++;
119         printf("%d=",n);
120         for(j=0; j<t; j++)
121         {
122             printf("%d",d[j]);
123             if(j<t-1) printf("+");
124             else
125             {
126                 if(n-d[0]==t-1) printf("
");
127                 else printf(",");
128             }
129         }
130     }
131     else
132         for(i=x; i>=1; i--)
133             if(i+total<=n&&i%2!=0)
134             {
135                 d[t++]=i;
136                 total+=i;
137                 fun4(i);
138             }
139     total-=d[t-1];
140     t--;
141 }
142 
143 void fun5(int x)    //将n划分成若干不同整数之和的划分数。
144 {
145     int i,j;
146     if(total==n)
147     {
148         if(dif())
149         {
150             count++;
151             printf("%d=",n);
152             for(j=0; j<t; j++)
153             {
154                 printf("%d",e[j]);
155                 if(j<t-1) printf("+");
156                 else printf("
");
157             }
158         }
159     }
160     else
161         for(i=x; i>=1; i--)
162             if(i+total<=n)
163             {
164                 e[t++]=i;
165                 total+=i;
166                 fun5(i);
167             }
168     total-=e[t-1];
169     t--;
170 }
171 int main()
172 {
173     int k;
174     printf("输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n):");
175     scanf("%d%d",&n,&k);
176     fun1(n);// 将n划分成若干正整数之和的划分数。
177     printf("将%d划分成若干正整数之和的划分数:%d

",n,count);
178 
179     fun();
180     fun2(n,k);//将n划分成k个正整数之和的划分数。
181     printf("
将%d划分成%d个正整数之和的划分数:%d

",n,k,count);
182 
183     fun();
184     fun3(n,k);//将n划分成最大数不超过k的划分数。
185     printf("将%d划分成最大数不超过%d的划分数:%d



",n,k,count);
186 
187     fun();
188     fun4(n);//将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
189     printf("将%d划分成若干奇正整数之和的划分数:%d


",n,count);
190 
191     fun();
192     fun5(n);//将n划分成若干不同整数之和的划分数。
193     printf("将%d划分成若干不同整数之和的划分数:%d


",n,count);
194     
195     return 0;
196 }
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