0 1背包问题
转载：http://www.360doc.com/content/12/0504/09/9568648_208525818.shtml
0-1背包问题：
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
这个问题的特点是：每种物品只有一件，可以选择放或者不放。
算法基本思想：
利用动态规划思想 ，子问题为：f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。
其状态转移方程是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} //这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的
解释一下上面的方程：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，如果只考虑第i件物品放或者不放，那么就可以转化为只涉及前i-1件物品的问题，即1、如果不放第i件物品，则问题转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；2、如果放第i件物品，则问题转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”(此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i])。则f[i][v]的值就是1、2中最大的那个值。
（注意：f[i][v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N] [V]，而是f[N][0..V]的最大值。）
优化空间复杂度：
以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。
上面f[i][v]使用二维数组存储的，可以优化为一维数组f[v]，将主循环改为：
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
即将第二层循环改为从V..0，逆序。
解释一下：
假设最大容量M=10，物品个数N=3，物品大小w{3,4,5}，物品价值p{4,5,6}。
当进行第i次循环时，f[v]中保存的是上次循环产生的结果，即第i-1次循环的结果(i>=1)。所以f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}这个式子中，等号右边的f[v]和f[v-c[i]]+w[i]都是前一次循环产生的值。
当i=1时，f[0..10]初始值都为0。所以
f[10]=max{f[10],f[10-c[1]]+w[1]}=max{0,f[7]+4}=max{0,0+4}=4;
f[9]=max{f[9],f[9-c[1]]+w[1]}=max{0,f[6]+4}=max{0,0+4}=4;
......
f[3]=max{f[3],f[3-c[1]]+w[1]}=max{0,f[3]+4}=max{0,0+4}=4;
f[2]=max{f[2],f[2-c[1]]+w[1]}=max{0,f[2-3]+4}=0;//数组越界？
f[1]=0;
f[0]=0;
当i=2时，此时f[0..10]经过上次循环后，都已经被重新赋值，即f[0..2]=0,f[3..10]=4。利用f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}这个公式计算i=2时的f[0..10]的值。
当i=3时同理。
具体的值如下表所示：
因此，利用逆序循环就可以保证在计算f[v]时，公式f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}中等号右边的f[v]和f[v-c[i]]+w[i]保存的是f[i-1][v]和f[i -1][v-c[i]]的值。
当i=N时，得到的f[V]即为要求的最优值。
初始化的细节问题：
在求最优解的背包问题中，一般有两种不同的问法：1、要求“恰好装满背包”时的最优解；2、求小于等于背包容量的最优解，即不一定恰好装满背包。
这两种问法，在初始化的时候是不同的。
1、要求“恰好装满背包”时的最优解：
在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。如果不能恰好满足背包容量，即不能得到f[V]的最优值，则此时f[V]=-∞，这样就能表示没有找到恰好满足背包容量的最优值。
2、求小于等于背包容量的最优解，即不一定恰好装满背包：
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价值尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。
总结
01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。
0-1背包问题代码：
代码1
1 #include <iostream> 2 #include <vector> 3 4 using namespace std; 5 6 const int MIN=0x80000000; 7 const int N=3; //物品数量 8 const int V=5; //背包容量 9 int f[N+1][V+1]; 10 11 int Package(int *W, int *C, int N, int V); 12 13 void main(int argc, char *argv[]) 14 { 15 int W[4] = {0,7,5,8}; //物品权重 16 int C[4] = {0,2,3,4}; //物品大小 17 18 int result = Package(W, C, N, V); 19 20 if (result > 0) 21 { 22 cout << endl; 23 cout << "the opt value:" << result << endl; 24 25 int i=N,j=V; 26 27 while (i) 28 { 29 if (f[i][j] == (f[i-1][j-C[i]] + W[i])) 30 { 31 cout << i << ":" << "w=" << W[i] << ",c=" << C[i] << endl; 32 j -= C[i]; 33 } 34 35 i--; 36 } 37 } 38 else 39 { 40 cout << "can not find the opt value" << endl; 41 } 42 } 43 44 int Package(int *W, int *C, int N, int V) 45 { 46 int i,j; 47 48 memset(f, 0, sizeof(f)); //初始化为0 49 50 for (i=0; i <= N; i++) 51 { 52 for (j=1; j <= V; j++) //此步骤是解决是否恰好满足背包容量， 53 { 54 f[i][j] = MIN; //若“恰好”满足背包容量，即正好装满背包，则加上此步骤，若不需要“恰好”，则初始化为0 55 } 56 } 57 58 for (i = 1; i <= N; i++) 59 { 60 for (j = C[i]; j <= V; j++) 61 { 62 f[i][j] = (f[i-1][j] > f[i-1][j-C[i]] + W[i]) ? f[i-1][j] : (f[i-1][j-C[i]] + W[i]); 63 cout << "f[" << i << "][" << j << "]=" << f[i][j] << endl; 64 } 65 } 66 67 return f[N][V]; 68 }
代码2
1 #include <iostream> 2 #include <vector> 3 4 using namespace std; 5 6 const int MIN = 0x80000000; 7 const int N = 3; //物品数量 8 const int V = 5; //背包容量 9 int f[V+1]; 10 11 int Package(int *W, int *C, int N, int V); 12 13 void main(int argc, char *argv[]) 14 { 15 int W[4] = {0, 7, 5, 8}; //物品权重 16 int C[4] = {0, 2, 3, 4}; //物品大小 17 18 int result = Package(W, C, N, V); 19 20 if (result > 0) 21 { 22 cout << endl; 23 cout << "the opt value:" << result << endl; 24 } 25 else 26 { 27 cout<<"can not find the opt value"<<endl; 28 } 29 } 30 31 int Package(int *W, int *C, int N, int V) 32 { 33 int i,j; 34 35 memset(f, 0, sizeof(f)); //初始化为0 36 37 for (i = 1; i <= V;i++) //此步骤是解决是否恰好满足背包容量， 38 { 39 f[i] = MIN; //若“恰好”满足背包容量，即正好装满背包，则加上此步骤，若不需要“恰好”，则初始化为0 40 } 41 42 for (i = 1; i <= N; i++) 43 { 44 for (j = V; j >= C[i]; j--) //注意此处与解法一是顺序不同的，弄清原因 45 { 46 f[j] = (f[j] > f[j-C[i]] + W[i]) ? f[j] : (f[j-C[i]]+W[i]); 47 cout << "f[" << i << "][" << j << "]=" << f[j] << endl; 48 } 49 } 50 51 return f[V]; 52 }
参考：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4cd99cfa0100mer2.html
http://www.cnblogs.com/tanky_woo/archive/2010/07/31/1789621.html
逆推装入的物品：