关于逆元 （转）
先来引入求余概念
(a + b) % p = (a%p + b%p) %p （对）
(a - b) % p = (a%p - b%p) %p （对）
(a * b) % p = (a%p * b%p) %p （对）
(a / b) % p = (a%p / b%p) %p （错）
为什么除法错的
证明是对的难，证明错的只要举一个反例
(100/50)%20 = 2 ≠ (100%20) / (50%20) %20 = 0
（故，当算式的中间出现除法，同时要求余时，怎么办呢）
我们知道
如果
a*x = 1
那么x是a的倒数，x = 1/a
但是a如果不是1，那么x就是小数
那数论中，大部分情况都有求余，所以现在问题变了
a*x = 1 (mod p)
那么x一定等于1/a吗
不一定
所以这时候，我们就把x看成a的倒数，只不过加了一个求余条件，所以x叫做 a关于p的逆元
比如2 * 3 % 5 = 1，那么3就是2关于5的逆元，或者说2和3关于5互为逆元
这里3的效果是不是跟1/2的效果一样，所以才叫数论倒数
a的逆元，我们用inv(a)来表示
那么(a / b) % p = (a * inv(b) ) % p = (a % p * inv(b) % p) % p
这样就把除法，完全转换为乘法了。
（ps：a和p互质，a才有关于p的逆元）
求逆元：
1、费马小定理：a^(p-1) ≡1 (mod p)
两边同除以a
a^(p-2) ≡1/a (mod p)
即：a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)
所以inv(a) = a^(p-2) (mod p)
这个用快速幂求一下，复杂度O(logn)
代码：
1 LL pow_mod(LL a, LL b, LL p) 2 { 3 //a的b次方求余p 4 LL ret = 1; 5 while(b) 6 { 7 if(b & 1) ret = (ret * a) % p; 8 a = (a * a) % p; 9 b >>= 1; 10 } 11 return ret; 12 } 13 LL Fermat(LL a, LL p) 14 { 15 //费马求a关于b的逆元 16 return pow_mod(a, p-2, p); 17 }
2、扩展欧几里德求逆元
a*x + b*y = 1
如果ab互质，有解
这个解的x就是a关于b的逆元
y就是b关于a的逆元
为什么呢？
你看，两边同时求余b
a*x % b + b*y % b = 1 % b
a*x % b = 1 % b
a*x = 1 (mod b)
所以x是a关于b的逆元
代码：
1 #include<cstdio> 2 typedef long long LL; 3 void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d) 4 { 5 if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;} 6 else 7 { 8 ex_gcd(b, a % b, y, x, d); 9 y -= x * (a / b); 10 } 11 } 12 LL inv(LL t, LL p) 13 { 14 //如果不存在，返回-1 15 LL d, x, y; 16 ex_gcd(t, p, x, y, d); 17 return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1; 18 } 19 int main() 20 { 21 LL a, p; 22 while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)) 23 { 24 printf("%lld ", inv(a, p)); 25 } 26 }