给出一个矩阵的定义：

求它的逆矩阵的各项平方和。

(nleq 1000000,m leq 10^9+6)

Solution

手玩(m=0)的情况可以发现逆矩阵的定义是类似的：

• (jleq i,(P^{-1}_n)(i,j)=(-1)^{i+j}(^{i}_{j}))
• (j>i,(P^{-1}_n)(i,j)=0)

模拟矩阵乘法就能证明这个结论。

当多了一个(j^{-m})时，矩阵应该是这样的：

• (jleq i,(P^{-1}_n)(i,j)=(-1)^{i+j}(^{i}_{j})i^m)
• (j>i,(P^{-1}_n)(i,j)=0)

证明与上面的类似。

于是问题变成求：

组合数的平方和即：

转化为：

考虑其组合意义，相当于把一个长度为(2n)的序列分为两部分，枚举一部分选(i)个，另一部分选(n-i)个。其实就是在(2n)个数里选(n)个，于是上面的式子就变成：

线性求一下逆元就能(O(n))解决了。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 2000007;
const ll P = 1e9 + 7;

int n, m;
ll ans, fac[N], inv[N];

ll pow(ll a, ll b) {
	ll ret = 1;
	for (; b; a = a * a % P, b >>= 1) if (b & 1) ret = ret * a % P;
	return ret;
}
ll C(int n, int m) { return fac[n] * inv[m] % P * inv[n - m] % P; }

int main() {
	freopen("c.in", "r", stdin);
	//freopen("c.out", "w", stdout);
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= 2000000; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % P;
	inv[0] = inv[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= 2000000; ++i) inv[i] = inv[P % i] * (P - P / i) % P;
	for (int i = 2; i <= 2000000; ++i) inv[i] = inv[i] * inv[i - 1] % P;
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) ans = (ans + pow(i, 2 * m) * (C(2 * i, i) - 1 + P) % P) % P;
	printf("%lld
", ans);
	return 0;
}