数据结构-并查集

原文地址   ：http://blog.****.net/niushuai666/article/details/6662911

作者：飘过的小牛

这篇地址：http://blog.****.net/dellaserss/article/details/7724401

来看一个实例，杭电1232畅通工程

首先在地图上给你若干个城镇，这些城镇都可以看作点，然后告诉你哪些对城镇之间是有道路直接相连的。最后要解决的是整幅图的连通性问题。比如随意给你两个点，让你判断它们是否连通，或者问你整幅图一共有几个连通分支，也就是被分成了几个互相独立的块。像畅通工程这题，问还需要修几条路，实质就是求有几个连通分支。如果是1个连通分支，说明整幅图上的点都连起来了，不用再修路了；如果是2个连通分支，则只要再修1条路，从两个分支中各选一个点，把它们连起来，那么所有的点都是连起来的了；如果是3个连通分支，则只要再修两条路……

以下面这组数据输入数据来说明

4 2 1 3 4 3

第一行告诉你，一共有4个点，2条路。下面两行告诉你，1、3之间有条路，4、3之间有条路。那么整幅图就被分成了1-3-4和2两部分。只要再加一条路，把2和其他任意一个点连起来，畅通工程就实现了，那么这个这组数据的输出结果就是1。好了，现在编程实现这个功能吧，城镇有几百个，路有不知道多少条，而且可能有回路。 这可如何是好？

我以前也不会呀，自从用了并查集之后，嗨，效果还真好！我们全家都用它！

并查集由一个整数型的数组和两个函数构成。数组pre[]记录了每个点的前导点是什么，函数find是查找，join是合并。

int pre[1000 ];

int find(int x)                                                                                                         //查找根节点

{ 

    int r=x;

    while ( pre[r ] != r )                                                                                              //返回根节点 r

          r=pre[r ];

    int i=x , j ;

    while( i != r )                                                                                                        //路径压缩

    {

         j = pre[ i ]; // 在改变上级之前用临时变量  j 记录下他的值 

         pre[ i ]= r ; //把上级改为根节点

         i=j;

    }

    return r ;

}

void join(int x,int y)                                                                                                    //判断x y是否连通，

                                                                                             //如果已经连通，就不用管了 //如果不连通，就把它们所在的连通分支合并起,

{

    int fx=find(x),fy=find(y);

    if(fx!=fy)

        pre[fx ]=fy;

}

为了解释并查集的原理，我将举一个更有爱的例子。 话说江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。他们没有什么正当职业，整天背着剑在外面走来走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，不管拐了多少个弯，都认为是自己人。这样一来，江湖上就形成了一个一个的群落，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人，无论如何都无法通过朋友关系连起来，于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？

我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人，作为该圈子的代表人物，这样，每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。

但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识队长，要判断自己的队长是谁，只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是队长？你是不是队长？”这样一来，队长面子上挂不住了，而且效率太低，还有可能陷入无限循环中。于是队长下令，重新组队。队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，我队长就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通，至于他们是如何连通的，以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至队长是谁，并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了。

http://i3.6.cn/cvbnm/6f/ec/f4/1e9cfcd3def64d26ed1a49d72c1f6db9.jpg

下面我们来看并查集的实现。 int pre[1000]; 这个数组，记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号（依据题意而定），pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己，那说明他就是掌门人了，查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的，比如欧阳锋，那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁？不认识！要想知道自己的掌门是谁，只能一级级查上去。 find这个函数就是找掌门用的，意义再清楚不过了（路径压缩算法先不论，后面再说）。

int find(int x)                                                                  //查找我（x）的掌门

{

    int r=x;                                                                       //委托 r 去找掌门

    while (pre[r ]!=r)                                                        //如果r的上级不是r自己（也就是说找到的大侠他不是掌门 = =）

    r=pre[r ] ;                                                                   // r 就接着找他的上级，直到找到掌门为止。

    return  r ;                                                                   //掌门驾到~~~

}

再来看看join函数，就是在两个点之间连一条线，这样一来，原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办，画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的，一共只有一个pre[]数组，该如何实现呢？ 还是举江湖的例子，假设现在武林中的形势如图所示。虚竹小和尚与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物，他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太，那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架，就对他俩说：“你们两位拉拉勾，做好朋友吧。”他们看在我的面子上，同意了。这一同意可非同小可，整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化，可如何实现呀，要改动多少地方？其实非常简单，我对玄慈方丈说：“大师，麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来，两派原先的所有人员的终极boss都是师太，那还打个球啊！反正我们关心的只是连通性，门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了：“我靠，凭什么是我变成她手下呀，怎么不反过来？我抗议！”抗议无效，上天安排的，最大。反正谁加入谁效果是一样的，我就随手指定了一个。这段函数的意思很明白了吧？

void join(int x,int y)                                                                   //我想让虚竹和周芷若做朋友

{

    int fx=find(x),fy=find(y);                                                       //虚竹的老大是玄慈，芷若MM的老大是灭绝

    if(fx!=fy)                                                                               //玄慈和灭绝显然不是同一个人

    pre[fx ]=fy;                                                                           //方丈只好委委屈屈地当了师太的手下啦

}

再来看看路径压缩算法。建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的，谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么胎唇样，我也完全无法预计，一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门，一共就两级结构，只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到，也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。 设想这样一个场景：两个互不相识的大侠碰面了，想知道能不能揍。 于是赶紧打电话问自己的上级：“你是不是掌门？” 上级说：“我不是呀，我的上级是谁谁谁，你问问他看看。” 一路问下去，原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀，原来是记己人，西礼西礼，在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会，在下九营十八组仙子狗尾巴花！” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等，两位同学请留步，还有事情没完成呢！”我叫住他俩。 “哦，对了，还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长：“组长啊，我查过了，其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起及接拜在曹公公手下吧，省得级别太低，以后查找掌门麻环。” “唔，有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样，查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理，所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。路径压缩的代码，看得懂很好，看不懂也没关系，直接抄上用就行了。总之它所实现的功能就是这么个意思。

hdu1232

#include<iostream>  
using namespace std;  
  
int  pre[1050];  
bool t[1050];               //t 用于标记独立块的根结点  
  
int Find(int x)  
{  
    int r=x;  
    while(r!=pre[r])  
        r=pre[r];  
      
    int i=x,j;  
    while(pre[i]!=r)  
    {  
        j=pre[i];  
        pre[i]=r;  
        i=j;  
    }  
    return r;  
}  
  
void mix(int x,int y)  
{  
    int fx=Find(x),fy=Find(y);  
    if(fx!=fy)  
    {  
        pre[fy]=fx;  
    }  
}   
  
int main()  
{  
    int N,M,a,b,i,j,ans;  
    while(scanf("%d%d",&N,&M)&&N)  
    {  
        for(i=1;i<=N;i++)          //初始化   
            pre[i]=i;  
          
        for(i=1;i<=M;i++)          //吸收并整理数据   
        {  
            scanf("%d%d",&a,&b);  
            mix(a,b);  
        }  
          
          
        memset(t,0,sizeof(t));  
        for(i=1;i<=N;i++)          //标记根结点  
        {  
            t[Find(i)]=1;  
        }  
        for(ans=0,i=1;i<=N;i++)  
            if(t[i])  
                ans++;  
                  
        printf("%d
",ans-1);  
          
    }  
    return 0;  
}//dellaserss  

 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1232畅通工程

 http://poj.org/problem?id=1182食物链

总结：

1.并查集的常见种类：不带权并查集和带权并查集，通常不带权的并查集用一个线性表就可以表示父子关系，而带权并查集通常父子间的关系是复杂的，不同的权值表示不同的父子关系

一，但是这种权值在路径压缩时可以通过：

节点与父节点的关系+父节点与根节点的权值     推导出    该节点与根节点的关系（一般并查集的题目只要找到这种转移关系就成功多半）

二，在mix函数中通常调用find函数，这样找到俩个集合的各自根节点，然后合并集合（注意，此时合并节点后的森林一定不是最简单的并查集（只有两层的），后续还要路径压缩），而在带权并查集中因为新的根节点变了，所以还要更新节点与新的根的权值。

例如这个图：

（已经有A到RA的关系，和B到RB的关系，新来的B到A的关系，可以得到RB到RA的关系）

2.并查集的find函数是寻找节点的根节点，并且做路径压缩，一般有递归和非递归两种：

int find(int x)  
{  
    return x == pre[x] ? x : find(pre[x]);  
}  

int find(int x)  
{  
    int root, temp;  
    root = x;  
    while(root != pre[root])  
        root = pre[root];  
    while(x != root)  
    {  
        temp = pre[x];  
        pre[temp] = root;  
        x = temp;  
    }  
    return root;  
}  

 并查集常见题目：转自：https://agatelee.cn/2017/05/%E5%B8%A6%E6%9D%83%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86/（请移步原网站）

并查集

并查集的本质是一个森林，每棵树代表一个集合，树根为集合的代表元。支持两种操作：

• 查询一个元素所处的集合
• 合并两个集合

查询一个元素所处的集合，只需要不断寻找父节点，直到找到代表元。
合并两个集合时，先找到两个集合的代表元x、y，然后令fa[x]=y即可。

优化

• 路径压缩： 沿着树根的路径找到元素a所在集合的代表元b后，对这条路径上的所有元素执行fa[x]=b
• 按rank启发式合并：为了避免退化，对于每个集合维护一个rank值，每次将较小的合并到较大的，相同时则rank=rank+1

void init(int n)
{
    for(int i = 0; i < n; i++)
    fa[i] = i;
}

int find(int v)
{
    return fa[v] = fa[v] == v ? v : find(fa[v]);
}

void merge(int x, int y)
{
    int a = find(x), b = find(y);
    if(rank[a] < rank[b])
        fa[a] = b;
    else {
        fa[b] = a;
        if(rank[a] == rank[b])
            rank[a]++;
    }
}

带权并查集

带权并查集即是结点存有权值信息的并查集。

当两个元素之间的关系可以量化，并且关系可以合并时，可以使用带权并查集来维护元素之间的关系。

带权并查集每个元素的权通常描述其与并查集中祖先的关系，这种关系如何合并，路径压缩时就如何压缩。

带权并查集可以推算集合内点的关系，而一般并查集只能判断属于某个集合。

POJ 1182 食物链

动物王国中有三类动物A，B，C，构成环形：A吃B，B吃C，C吃A。

现有N个动物，从1开始编号，每个动物都是A，B，C中的一种，但我们并不知道是哪一种。

用两种说法描述这N个动物的食物链关系：

• 1 X Y 表示X和Y是同类
• 2 X Y 表示X吃Y

给出K句话，有些是真的，有些是假的，满足下列任一条件即为假话，否则是真话：

• 当前的话与之前的某些真话冲突
• 当前的话中X或Y比N大
• 当前的话表示X吃X

输出假话的总数。

分析

这个题目是有关系的集合问题，可以利用带权并查集解决。

定义两个数组fa和rank，fa用来判断集合关系，rank用来描述其与根节点的关系。因为关系满足传递性，所以可以推导出给出条件下的当前关系，在判断与之前已有关系是否矛盾。

本题的解法巧妙地利用了模运算，rank数组用0表示同类，1表示当前点能吃根，2表示当前点被根吃。

传递性推导

首先用rank标记当前点与根的关系，然后利用传递性，得到任意两点的关系(rank[a] - rank[b]) % 3。



并且利用路径压缩维护这种关系，rank[b] = (rank[b] + rank[a]) % 3，通过当前点到之前根的关系，加上之前根到当前根的关系，维护当前点到根的关系。



每次添加新关系时，导致两个集合的连接，可以通过当前点的关系，反推出两个根的关系：rank[rb] = rank[a] - rank[b] + relation(b->a)

本题需要注意的是传入的relation恰为描述的种类号减一。



#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;

const int MAXN = 100005;
const int INF = 0x3F3F3F3F;
const double eps = 1e-6;
const int MOD = 1e9 + 7;

int fa[MAXN], _rank[MAXN];
int n, k, ans;

void init(int n)
{
    for(int i = 0; i <= n; i++)
    {
        fa[i] = i;
        _rank[i] = 0;
    }

    ans = 0;
}

int find(int x)
{
    if(fa[x] == x)
        return x;
    else
    {
        int temp = fa[x];
        fa[x] = find(fa[x]);
        _rank[x] = (_rank[x] + _rank[temp]) % 3;
        return fa[x];
    }
}

void merge(int r, int u, int v)
{
    int fu = find(u);
    int fv = find(v);

    if(fu != fv)
    {
        fa[fu] = fv;
        _rank[fu] = (_rank[v] - _rank[u] + r + 3) % 3;
    }
}

bool check(int r, int u, int v)
{
    if(u > n || v > n)
        return false;
    if(r == 1 && u == v) // 传入的序号已减一
        return false;

    int fu = find(u);
    int fv = find(v);

    if(fu == fv)
        return ((_rank[u] - _rank[v]) % 3 + 3 ) % 3 == r;
    else return true;    
}

int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &k);

    init(n);

    int a, b, c;

    for(int i = 0; i < k; i++)
    {
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
        a --;
        if(check(a, b, c))
            merge(a, b, c);
        else
            ans ++;
    }

    printf("%d
", ans);

    return 0;
}

HiHo 1515 分数调查

N名学生编号从1开始，一次测验后学校没有公布成绩，只能得到一些小道消息，例如同学X比Y高S分。利用这些小道消息，能否判断某两位同学分数的高低？

输入

N 学生总数 M 消息总数 Q 询问数量
M 行 X Y S
Q 行 X Y

输出

对于每个询问，输出X比Y高的分数，不能判断则输出-1。

分析

同样使用带权并查集，用数组p记录同学们的权值（与根的分数差），那么路径压缩时，p[a] = p[a] + p]，合并时，p[rb] = p[a] + S - p[b]。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;

const int MAXN = 100005;
const int INF = 0x3F3F3F3F;
const double eps = 1e-6;
const int MOD = 1e9 + 7;

int fa[MAXN], p[MAXN];

int find(int x)
{
    if(fa[x] == 0 || fa[x] == x)
        return fa[x] = x;
    else
    {
        int root = find(fa[x]);
        p[x] += p];
        return fa[x] = root;
    }
}

int merge(int x, int y, int s)
{
    int fx = find(x);
    int fy = find(y);

    if(fx != fy)
    {
        p[fy] = p[x] + s - p[y];
        fa[fy] = fx;
    }
}

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("1.txt", "r", stdin);
    #endif

    int n, m, k, a, b, c;

    scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);
    memset(fa, 0, sizeof(fa));
    memset(p, 0, sizeof(p));

    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
        merge(a, b, c);
    }

    for(int i = 0; i < k; i++)
    {
        scanf("%d %d", &a, &b);

        int f1 = find(a), f2 = find(b);

        if(f1 == f2) printf("%d
", p[b] - p[a]);
        else printf("-1
");
    }

    return 0;
}