【纪中集训2019.3.11】Cubelia

题目：

描述

给出长度为(n)的数组(a)和(q)个询问(l,r)。

求区间([l,r])的所有子区间的前缀和的最大值之和；

范围：

$n le 2 imes 10^5 , q le 10^7 $；

数据给出的(S,A,B,P)参数随机生成，附加文件给出数据生成器；

保证任意一个连续子序列的最大前缀和不超过(10^6) ;

题解：

Part1
([1,l-1])的(a_{i})对区间([l,r])的前缀和的大小是没用影响的，所以直接算答案就是；

[记sum_{i} = sum_{j=1}^{i}a_{i} \ egin{align} ans_{l,r} = sum_{i=l}^{r}sum_{j=i}^{r} max^{j}_{k=i}{sum_{k}} - sum_{i=l-1}^{r-1} sum_{i}(r-i) end{align} ]

考虑如何求区间连续子序列最大值之和；
(kczno1)的做法： https://loj.ac/article/489
一个奇葩做法：
对(sum)建出笛卡尔树，考虑一个节点的有效区间是([l_{i},r_{i}])；
预先处理出每个点的贡献:(s_{i} = (i - l_{i}+1) (r_{i} - i + 1)) ;
考虑直接求(sum_{i=l}^{r}s_{i})多算了什么，多算的部分其实就是(l_{i})超出(l)或者(r_{i})(超出)r$的情况；
记(u为l的祖先且u>l，v为r的祖先且v<r ， w = lca(l,r));
多算的部分就是：$sum_{u=l}^{u<w} (l-l_{u})(r_{u}-u+1) + sum_{v=r}^{v>w} (r-r_{v})(v-l_{v}+1) $
这个式子可以在笛卡尔的左树和右树上处理一下前缀；
注意在(w)的时候（也就是区间最值的位置）(u)和(v)都会超出，特判一下即可；
(pm rmq)
标算需要一个(O(1))的(rmq) ，(我没写这个，卡一卡常数也可以过的);
区间最值问题可以通过笛卡尔树转化成(lca);
注意到(lca)的(rmq)相邻的值相差为(1或-1)
对序列分块令分块大小(B = frac{log n}{2})，差分后(2^B B^2)处理所有本质不同的块的区间最值的位置；
对(frac{n}{B})个块做(rmq), 整块直接(O(1))查询rmq$，散块调用预处理的块内最值；

复杂度是：(O(sqrt{n}log^2n + n ) = O(n)) ；

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define mod 998244353
#define inf 1e18
#define il inline 
#define rg register 
using namespace std;
inline int R() {
    int rt = 0;
    char ch = getchar();
    bool isn = false;
    for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) isn = ch == '-' ? true : isn;
    for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) rt = rt * 10 + ch - '0';
    return isn ? -rt : rt;
}
const int N=2000010;
ll a[2000007];
int n, q, ans;
int S, A, B, P, tp;
long long lastans;
inline int Rand() {
    S = (S * A % P + (B ^ (tp * lastans))) % P;
    S = S < 0 ? -S : S;
    return S;
}
int f[N][21],bin[21],rt,lg[N],le[N],ri[N],ls[N],rs[N];
ll fl[N],Ls1[N],Ls2[N],fr[N],Rs1[N],Rs2[N];
ll S1[N],S2[N],s[N];
int sta[N],top;
il int Max(int x,int y){
	if(a[x]==a[y])return x>y?x:y;
	return a[x]>a[y]?x:y;
}//
il int ask(int x,int y){
	int t = lg[y - x + 1];
	return Max(f[x][t], f[y-bin[t]+1][t]);
}//
il void dfs1(int k){
	le[k]=ri[k]=k;
	if(ls[k])dfs1(ls[k]),le[k]=le[ls[k]];
	if(rs[k])dfs1(rs[k]),ri[k]=ri[rs[k]];
}
il void dfs2(int k){
	s[k] = (ll)(k - le[k] + 1)*(ri[k] - k + 1)*a[k];
	
	int t = fl[k] ; ll x = a[k]*(k-le[k]+1);
	Ls1[k] = Ls1[t] + x; 
	Ls2[k] = Ls2[t] + x*ri[k]; 
	//
	t = fr[k]; x = a[k]*(ri[k]-k+1);
	Rs1[k] = Rs1[t] + x;
	Rs2[k] = Rs2[t] + x*le[k];
	//
	if(ls[k]){
		fr[ls[k]]=k;
		fl[ls[k]]=fl[k];
		dfs2(ls[k]);
	} 
	if(rs[k]){
		fl[rs[k]]=k;
		fr[rs[k]]=fr[k];
		dfs2(rs[k]);
	}
}//
il void pre_solve(){
	for(rg int i=bin[0]=1;i<=20;++i)bin[i]=bin[i-1]<<1;
	for(rg int i=1;i<=n;++i){
		a[i] += a[i-1];
		S1[i] = S1[i-1] + a[i];
		S2[i] = S2[i-1] + a[i]*i;
	}
	lg[0]=-1;a[0]=-inf;
	for(rg int i=1;i<=n;++i)f[i][0]=i,lg[i]=lg[i>>1]+1;
	for(rg int i=1;i<=20;++i)
	for(rg int j=1;j+bin[i]-1<=n;++j){
		f[j][i] = Max(f[j][i-1], f[j+bin[i-1]][i-1]);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		while(top&&Max(sta[top],i)==i)ls[i]=sta[top--];
		if(top)rs[sta[top]]=i;
		sta[++top]=i;
	}
	rt = sta[1];
	dfs1(rt);
	dfs2(rt);
	for(rg int i=1;i<=n;++i)s[i]+=s[i-1]; 
}//
il ll cal1(int l,int r){
	l = max(2, l); 
	return r * (S1[r-1] - S1[l-2]) - (S2[r-1] - S2[l-2]) ;
}//
il ll cal2(int l,int r){
	int t = ask(l,r);
	ll re = (s[r]-s[l-1]) - (ll)(t - le[t] + 1) * (ri[t] - t + 1) * a[t] + (ll)(t - l + 1) * (r - t + 1) * a[t] ; 
	re -= l * (Rs1[l] - Rs1[t]) - (Rs2[l] - Rs2[t]);
	re -= (Ls2[r] - Ls2[t]) - r * (Ls1[r] - Ls1[t]);
	return re;
}//
il long long solve(int l, int r){
	return cal2(l, r)-cal1(l, r);
}//
int main() {
    freopen("cubelia.in", "r", stdin);
    freopen("cubelia.out", "w", stdout);
    n=R(),q=R();
    for(rg int i=1;i<=n;++i)a[i]=R();
    S=R(),A=R(),B=R(),P=R(),tp=R();
    pre_solve();
    for (;q;--q){
        int l=Rand()%n+1,r=Rand()%n+1;
		if (l>r)swap(l,r);
        lastans=solve(l,r);
    	ans=(ans+lastans%mod)%mod;
	}
	cout<<(ans+mod)%mod<<endl;
    return 0;
}//

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(pm rmq)

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