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51Nod1123 X^A Mod B 数论 中国剩余定理 原根 BSGS 题目传送门 - 51Nod1123 题意 题解 代码

分类: IT文章 • 2025-01-08 15:11:20

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/51Nod1123.html

题意

　　$T$ 组数据。

　　给定 $A,B,C$，求出使得 $x^A equiv C pmod B$ 的所有 $x$，保证解的个数不超过 $sqrt B$ 。

　　$Tleq 100,1leq A,B,C leq 10^9$

题解

　　先记一下写这一题的感受：

　　　　1.　写的过程中代码长度峰值达到过 300 行，好久没写码农题了，感到自己码力大减。

　　　　2.　我貌似只会推 exCRT 了，互质的 CRT 我居然都记错了，而且还推错了，浪费了好多时间。

　　　　3.　BZOJ2219 的数据太水，我在做这题的时候找到了 hack 我那一题的数据……

　　　　4.　数论真有(du)趣(liu)。

UPD(2018-09-10): 

　　详见数论总结。 

　　传送门 - https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Number-theory-Residue-System.html

 

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100005;
int read(){
	int x=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return x;
}
int pcnt,f[N],Prime[N];
void Get_Prime(int n){
	memset(f,0,sizeof f);
	pcnt=0;
	for (int i=2;i<=n;i++){
		if (f[i])
			continue;
		Prime[++pcnt]=i;
		for (int j=i+i;j<=n;j+=i)
			f[j]=1;
	}
}
void Divide(int x,int *p,int *q,int &cnt){
	cnt=0;
	for (int i=1;i<=pcnt&&Prime[i]*Prime[i]<=x;i++){
		if (x%Prime[i])
			continue;
		p[++cnt]=Prime[i],q[cnt]=0;
		while (x%p[cnt]==0)
			x/=p[cnt],q[cnt]++;
	}
	if (x>1)
		p[++cnt]=x,q[cnt]=1;
}
int Pow(int x,int y,int mod){
	int ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=1LL*x*x%mod)
		if (y&1)
			ans=1LL*ans*x%mod;
	return ans;
}
int Pow(int x,int y){
	return Pow(x,y,2e9);
}
int gcd(int a,int b){
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
int Fac[50],Fac_cnt=0;
bool Get_g_Check(int P,int C,int x){
	int phi=Pow(P,C-1)*(P-1),pw=Pow(P,C);
	if (C>1&&Pow(x,phi/P,pw)==1)
		return 0;
	for (int i=1;i<=Fac_cnt;i++)
		if (Pow(x,phi/Fac[i],pw)==1)
			return 0;
	return 1;
}
int Get_g(int P,int C){
	int v=P-1;
	Fac_cnt=0;
	for (int i=1;i<=pcnt&&Prime[i]*Prime[i]<=v;i++)
		if (v%Prime[i]==0){
			Fac[++Fac_cnt]=Prime[i];
			while (v%Prime[i]==0)
				v/=Prime[i];
		}
	if (v>1)
		Fac[++Fac_cnt]=v;
	for (int i=2;;i++)
		if (Get_g_Check(P,C,i))
			return i;
	return -1;
}
struct hash_map{
	static const int Ti=233,mod=1<<16;
	int cnt,k[mod+1],v[mod+1],nxt[mod+1],fst[mod+1];
	int Hash(int x){
		int v=x&(mod-1);
		return v==0?mod:v; 
	}
	void clear(){
		cnt=0;
		memset(fst,0,sizeof fst);
	}
	void update(int x,int a){
		int y=Hash(x);
		for (int p=fst[y];p;p=nxt[p])
			if (k[p]==x){
				v[p]=a;
				return;
			}
		k[++cnt]=x,nxt[cnt]=fst[y],fst[y]=cnt,v[cnt]=a;
		return;
	}
	int find(int x){
		int y=Hash(x);
		for (int p=fst[y];p;p=nxt[p])
			if (k[p]==x)
				return v[p];
		return 0;
	}
	int &operator [] (int x){
		int y=Hash(x);
		for (int p=fst[y];p;p=nxt[p])
			if (k[p]==x)
				return v[p];
		k[++cnt]=x,nxt[cnt]=fst[y],fst[y]=cnt;
		return v[cnt]=0;
	}
}Map;
int BSGS(int A,int B,int P){
	int M=max((int)(0.8*sqrt(1.0*P)),1),AM=Pow(A,M,P);
	Map.clear();
	for (int b=0,pw=B;b<M;b++,pw=1LL*pw*A%P)
		Map.update(pw,b+1);
	for (int a=M,pw=AM;a-M<P;a+=M,pw=1LL*pw*AM%P){
		int v=Map.find(pw);
		if (v)
			return a-(v-1);
	}
	return -1;
}
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if (!b){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int res=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=(a/b)*x;
	return res;
}
int RHD(vector <int> &v,int A,int B,int P,int C,int flag){
//	printf("RHD :: %d %d %d %d
",A,B,P,C);
	int g=Get_g(P,C);
	int t=BSGS(g,B,Pow(P,C));
	int mod=(P-1)*Pow(P,C-1),pw=mod/(P-1)*P;
	int GCD=gcd(mod,gcd(A,t));
	if (!flag)
		return gcd(A,mod)>GCD?0:GCD;
	v.clear();
	if (gcd(A,mod)>GCD)
		return 0;
	int _A=A/GCD,_t=t/GCD,_mod=mod/GCD;
	int x,y;
	exgcd(_A,_mod,y,x);
	y=(y%_mod+_mod)%_mod;
	y=1LL*y*_t%_mod;
	for (int i=y;i<mod;i+=_mod)
		v.push_back(Pow(g,i,pw));
	return GCD;
}
vector <int> tmp;
void dfs(vector <int> &v,int A,int B,int C,int t,int d){
	if (Pow(t,A,1<<d)!=B%(1<<d))
		return;
	if (C==d)
		return v.push_back(t);
	dfs(v,A,B,C,t,d+1);
	dfs(v,A,B,C,t|(1<<d),d+1);
}
int solve2(vector <int> &v,int A,int B,int C){
	v.clear();
	B%=1<<C;
	dfs(v,A,B,C,0,0);
	return (int)v.size();
}
int solve(vector <int> &v,int A,int B,int P,int C,int flag){
	if (P==2)
		return solve2(v,A,B,C);
	if (flag)
		v.clear();
	int pw=Pow(P,C),Phi=(P-1)*Pow(P,C-1);
	B%=pw;
	if (B==0){
		if (!flag)
			return Pow(P,C-((C+A-1)/A));
		int base=Pow(P,((C+A-1)/A));
		for (int i=0;i<pw;i+=base)
			v.push_back(i);
		return (int)v.size();
	}
	int g=gcd(B,pw),Q=0;
	B/=g;
	while (g>1)
		g/=P,Q++;
	if (!flag)
		return Pow(P,Q-Q/A)*((Q%A)?0:RHD(v,A,B,P,C-Q,0));
	if (Q%A)
		return 0;
	RHD(tmp,A,B,P,C-Q,1);
	int base=Pow(P,C-Q+Q/A),tg=Pow(P,Q/A);
	for (vector <int> :: iterator i=tmp.begin();i!=tmp.end();i++)
		for (int j=*i=1LL*(*i)*tg%base;j<pw;j+=base)
			v.push_back(j);
	return (int)v.size();
}
vector <int> res[50];
set <int> Ans;
int crtk[50];
void dfsCRT(int x,int d,int dcnt,int *p,int *q,int Fac){
	if (d>dcnt){
		Ans.insert(x);
		return;
	}
	for (int j=0;j<res[d].size();j++)
		dfsCRT((1LL*res[d][j]*crtk[d]+x)%Fac,d+1,dcnt,p,q,Fac);
}
int main(){
	Get_Prime(1e5);
	int T=read();
	while (T--){
		int A=read(),P=read(),B=read();
		int cnt,p[50],q[50];
		Divide(P,p,q,cnt);
		swap(p[1],p[cnt]);
		swap(q[1],q[cnt]);
		int ans=1;
		for (int i=1;i<=cnt&&ans>0;i++)
			ans*=solve(res[i],A,B,p[i],q[i],0);
		if (!ans){
			puts("No Solution");
			continue;
		}
		for (int i=1;i<=cnt;i++)
			solve(res[i],A,B,p[i],q[i],1);
		for (int i=1;i<=cnt;i++){
			int v1=Pow(p[i],q[i]),v2=P/Pow(p[i],q[i]),x,y;
			exgcd(v2,v1,x,y);
			x=(x%v1+v1)%v1;
			crtk[i]=1LL*v2*x%P;
		}
		Ans.clear();
		dfsCRT(0,1,cnt,p,q,P);
		for (set <int> :: iterator i=Ans.begin();i!=Ans.end();i++)
			printf("%d ",*i);
		puts("");
	}
	return 0;
}

　　

　　

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