LaTeX常用篇(二)---上下标/分式/根式/求和/连乘/极限/积分/希腊字母

更新时间：2019.10.27
增加补充项中的内容

1. 序言

  之前总结了一下latex的公式输入。但是俗话说得好，巧妇难为无米之炊。如果想要输入复杂的数学公式，光知道公式输入的方式是远远不够的，我们还需要了解公式中常用的组成部分。

2. 上下标

  数学公式中的字母经常是带上标（幂/转置/导数等）和下标（矩阵元素位置/参数个数等）的，而用latex解决这个问题十分简单。可以使用^表示上标，使用_表示下标。当然要值得注意的是，当上下标的有多个（2个及以上）字符时，要用{}括起来。

<!--来直接看几个例子-->
$$Y = eta_0 + eta_1X_1 + eta_2X_2^2$$

$$a_{11} + a_{12}^2 + a_{13}^3 = 0$$

显示效果：

• tip1：有时我们想使用的标记在字母的正上方，例如(ar X)。这种无法直接用上下标来表示，需要使用其他的方法。
• tip2：在这里列举一些常用的用法：
  • (ar X)(X拔)的表示方法是：$ar X$，这个通常是用来表示变量的均值
  • (hat Y)(Y帽)的表示方法是：$hat Y$，这个通常是用来表示变量的预测值
  • (underline X)的表示方式是：$underline X$，可以用来表示下限
  • 还有其他像(widetilde X)的表示方式是：$widetilde X$
• tip3：例子中使用了一些希腊字母，可以直接跳转到下面进行查看常用的希腊字母

3. 分式

  直接使用frac{}{}来表示分式，其中第一个{}表示分子，第二个{}表示分母

$$f(x, y) = frac{x + y}{x - y}$$

显示效果：

4. 根式

  直接使用sqrt[]{}来表示分式，其中[]用来放开方的次数，{}用来放要被开方的公式

$$f(x, y) = sqrt[n]{frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}}$$

显示效果：

5. 求和和连乘

  对于连加的情况，我们通常使用(sum)来表示。它的使用用法也很简单，但是通常都要添加上下标，像$sum_{}^{}$形式。除了连加，我们有时也使用连乘，虽然没有连加使用得多（连乘都能通过对数写成连加），它只要以$prod_{}^{}$的形式表示。

<!--连加-->
$$sum_{i = 1}^{n}x_i$$

<!--连乘-->
$$prod_{i = 1}^{n}x_i$$

显示效果：

• tip1：在latex中，默认情况下行内公式都是显示像(sum_{i=1}^na_{ij})的效果，如果想要这样的效果(displaystylesum_{i=1}^na_{ij})，就需要在前面加上displaystyle，来重新看一下下面的例子：

<!--连加-->
$sum_{i = 1}^{n}x_i$
$displaystylesum_{i = 1}^{n}x_i$

<!--连乘-->
$prod_{i = 1}^{n}x_i$
$displaystyleprod_{i = 1}^{n}x_i$

显示效果：

(sum_{i = 1}^{n}x_i)
(displaystylesum_{i = 1}^{n}x_i)

(prod_{i = 1}^{n}x_i)
(displaystyleprod_{i = 1}^{n}x_i)

6. 极限

  还记得高数里极限的符号吗。在latex中的极限表示，也直接使用lim这个我们时常看到的符号。当然极限通常都是带下标的，所以更多的是使用lim_{}的形式。

<!--来看看两个重要极限-->
$$displaystylelim_{x 
ightarrow 0}frac{sin x}{x} = 1$$

$$displaystylelim_{x 
ightarrow + infty}(1 + frac{1}{x})^x = e$$

显示效果：

• tip1：右箭头( ightarrow)的表示方式为$ ightarrow$，左箭头(leftarrow)的表示方式是$leftarrow$
• tip2：正无穷(+ infty)的表示方式为$+ infty$，负无穷(- infty)的表示方式是$- infty$

7. 积分

  如果想要输入积分，则需要使用int_{}^{}来表示

$$int_0^1 x^2 dx$$
<!--来看一个更加复杂的例子-->
<!--正态分布的分布函数-->
$$F(x) = int_{- infty}^{+ infty} frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-(frac{x-mu}{sigma})^2} dx$$

显示效果：

8. 常用的希腊字母

  有时我们的公式里会包含一些希腊字母，而在latex中，其实只要会读希腊字母基本就会写出来。下面总结一些常用的希腊字母：

希腊字母	对应的代码	希腊字母	对应的代码
(alpha)	$alpha$	(mu)	$mu$
(eta)	$eta$	(sigma)	$sigma$
(gamma)	$gamma$	(varepsilon)	$varepsilon$
( heta)	$theta$	(chi)	$chi$
(zeta)	$zeta$	( au)	$ au$
(eta)	$eta$	( ho)	$ ho$
(xi)	$xi$	(psi)	$psi$
(pi)	$pi$	(phi)	$phi$

9. 补充项

9.1 波浪线的表示

可以使用$sim$来表示波浪线

$varepsilon sim N(0, sigma^2I_n)$

显示效果：
(varepsilon sim N(0, sigma^2I_n))

9.2 求导

使用$mathrm{d}$来表示求导符号，$partial$来表示求偏导

$frac {mathrm{d}L(eta)}{eta}$

<!--直接用d来表示求导符的效果-->
$frac {dL(eta)}{eta}$

<!--偏导-->
$frac {partial L(eta_0, eta_1)}{partial eta_0}$

显示效果：
(frac {mathrm{d}L(eta)}{eta})

(frac {dL(eta)}{eta})

(frac {partial L(eta_0, eta_1)}{partial eta_0})

9.3 垂直和平行符号

• 垂直：使用$perp$，效果为(perp)
• 平行：可以直接用//或$//$，也可以使用$parallel$，不过这个是显示竖直的形式||

$//$
$parallel$

显示效果：
(//)
(parallel)

9.4 把符号放在正下方

有时我们需要把文本放在正下方，这是我们就可以使用$underset$，有时也可以使用$limits$

$$hat eta = underset{eta}{arg min} L(eta)$$
$$hat eta = arg min limits_{eta} L(eta)$$

显示效果：

9.5 集合

<!--真包含-->
$$subset$$

<!--包含-->
$$subseteq$$

<!--属于和不属于-->
$$in$$
$$
otin$$

<!--交集和并集-->
$$cap$$
$$cup$$

<!--其他-->
$$mid$$
$$supset$$

显示效果：

9.6 成正比

使用$propto$来表示

$f(eta|X) propto f(eta) f(X|eta)$

显示效果：
(f(eta|X) propto f(eta) f(X|eta))