这一章，解决的是用prediction的方法，来评估策略(pi)的问题。

对于Env来说，不是参数已知的MDP
比如元组中a、s、P的关系不确定 or 未知

Prediction -> Control
Evaluation -> Optimization

蒙特卡洛法 Monte-Carlo learning

• 定义：在不清楚MDP状态转移及即时奖励的情况下，直接从经历完整的Episode来学习状态价值，通常情况下某状态的价值等于在多个Episode中以该状态算得到的所有收获的平均。

适用于MDP参数未知，回合制更新，遍历了所有状态s

MC是基于大数定律的：
当采样足够多时，就可以代表真值
[ N(s)->infty Rightarrow V(s) -> V_pi(s)]

• 说明：
  • 均值累计计算可以用(v = sum/N)
  • 也可以用累进更新 Incremental Mean
    [
    egin{aligned}
    mu_{k} &=frac{1}{k} sum_{j=1}^{k} x_{j} \
    &=frac{1}{k}left(x_{k}+sum_{j=1}^{k-1} x_{j} ight) \
    &=frac{1}{k}left(x_{k}+(k-1) mu_{k-1} ight) \
    &=mu_{k-1}+frac{1}{k}left(x_{k}-mu_{k-1} ight)
    end{aligned}
    ]

类似于PID的P 增益随着N增大，在逐步缩小
为了简化计算，改写方程，用(alpha)代替(frac{1}{N(s_t)})
这样可以用固定步长来替代变步长(frac{1}{k})
[V(S_t) leftarrow V(S_t)+alpha(G_t - V(S_t))]
可以看做是，(v_{new} = v_{old} + alpha(v_{target} - v_{old}))，括号里面是误差
可以看到这里的(alpha)和机器学习里面用的学习率是一个符号

差分法Temporal-Difference learning

MC 在 episode遍历完之后，回合更新，效率低
TD 实现边走边更新

引入时间t的概念

• 直接从episodes 的经验学习
• model-free：不知道MDP的Transition转移和Reward回报
• Bootstrapping自举学习，从部分例子学习

Goal：学习(v_{pi}) 的值，under policy (pi)

时序分析法 TD(0）：

[
Vleft(S_{t} ight) leftarrow Vleft(S_{t} ight)+alphaleft(R_{t+1}+gamma Vleft(S_{t+1} ight)-Vleft(S_{t} ight) ight)
]

• TD target 是 下一个时刻的(R_{t+1}+gamma Vleft(S_{t+1} ight))
• TD误差：(left(R_{t+1}+gamma Vleft(S_{t+1} ight)-Vleft(S_{t} ight) ight))

Bootstrapping：根据episode表现来更新V值，自举（依靠自己努力获得）

与MC方法区别

项目	MC	TD
不完整片段学习能力	无	有
在线学习(every step)能力	update until the end	有
loop环境学习能力	无，必须terminating	有
收敛性好	是
初值敏感	否	是
偏差bias	zero	some
方差variance	high	low

估计方法背后的理论

• MC方法：最小化均方根MSE
  [
  sum_{k=1}^{K} sum_{t=1}^{T_{k}}left(G_{t}^{k}-Vleft(s_{t}^{k} ight) ight)^{2}
  ]
• TD（0）方法：最大似然估计 max likelihood Markov model
  Solution to the MDP (langlemathcal{S}, mathcal{A}, hat{mathcal{P}}, hat{mathcal{R}}, gamma angle) that best fits the data
  [
  hat{mathcal{P}}_{s, s^{prime}}^{a} =frac{1}{N(s, a)} sum_{k=1}^{K} sum_{t=1}^{T_{k}} 1left(s_{t}^{k}, a_{t}^{k}, s_{t+1}^{k}=s, a, s^{prime} ight)
  ]
  [
  hat{mathcal{R}}_{s}^{a} =frac{1}{N(s, a)} sum_{k=1}^{K} sum_{t=1}^{T_{k}} 1left(s_{t}^{k}, a_{t}^{k}=s, a ight) r_{t}^{k}
  ]

总结：DP、MC、TD

• Bootstrapping自举：利用自己估计值update
• Sampling采样 ：更新样本期望

项目	动态规划DP	蒙特卡洛MC	差分TD
自举Bootstrapping	1	0	1
采样Sampling	0	1	1

• TD用了Markov特性，因此在MP过程高效
• MC相反，统计规律，非MP过程同样有效

MC: 采样，一次完整经历，用实际收获更新状态预估价值

TD：采样，经历可不完整，用喜爱状态的预估状态价值预估收获再更新预估价值

DP：没有采样，根据完整模型，依靠预估数据更新状态价值

TD(λ)法

视野（深度）影响TD算法的稳定性，但是视野去多深，不知道
因此，综合不同深度的视野，加权求和，即TD((lambda))

扩展TD(0)，视野扩展到N个step，N=全过程时，变为MC

TD（N）推导

对于某个问题来说，没有那个N值是最优的
因此，用几何加权的方法来对视野做平均

Forward 前向视角认知 (TD(lambda))

• 例子：
  老鼠在连续接受了3次响铃和1次亮灯信号后遭到了电击，那么在分析遭电击的原因时，到底是响铃的因素较重要还是亮灯的因素更重要呢？
  

• 两个启发：

  • 出现频率高的状态
  • 出现频率低的状态

(lambda)：对视野的平均
for iteration： t -> t+1
update value function

引入权重概念，前面的重要，指数衰减

Backward 反向认知TD(λ)：提供了单步更新的机制

Credit assignment：
引入 Eligibility Traces：状态s的权重，是一个时间序列
当s重复出现，E值升高，不出现，指数下降
(E_{0}(s)=0)
(E_{t}(s)=gamma lambda E_{t-1}(s)+mathbf{1}left(S_{t}=s ight))

Backward步骤：

• 对每个状态s 创建 迹值
• 对每个状态s 更新 V(s)
• 与 TD-error((delta_t)) 和 Eligibility trace (E_t(s)) 成比例

[
egin{aligned}
delta_{t} &=R_{t+1}+gamma Vleft(S_{t+1} ight)-Vleft(S_{t} ight)\
V(s) & leftarrow V(s)+alpha delta_{t} E_{t}(s)
end{aligned}
]

[
sum_{t=1}^{T} alpha delta_{t} E_{t}(s)=sum_{t=1}^{T} alphaleft(G_{t}^{lambda}-Vleft(S_{t} ight) ight) 1left(S_{t}=s ight)
]

总结

• Offline update：TD(0) = TD((lambda)) = TD(1)
• Online update： TD((lambda))前后向视图不一致，引入Exact online TD((lambda))可以解决这个问题
• TD(0) 向后看一步
• TD((lambda)) 视野距离按(lambda)指数衰减，叠加
• TD(1) 视野不按指数衰减
• 能在RL中被应用，看中了TD的自举特性