BZOJ 3625 [Codeforces Round #250]小伙伴和二叉树 多项式开根

题意:链接

方法:多项式开根

解析:

首先先搞出来C(x)->即C的生成函数。

然后推一下式子嘛

选或者不选，选的话是一个递归，不选是1。

设F(x)为权值的生成函数。

即$F(x)=C(x)*F^2(x)+1$

然后搞一下。

$F(x)=\frac{1±\sqrt{1-4*C(x)}}{2*C(x)}$

多项式求逆的条件是常数项有逆。

所以那个加减我们就只能取减号而不能取加号

然后乘以个共轭根式。

$F(x)=\frac{2}{1+\sqrt{1-4*C(x)}}$

现在考虑开根怎么求吧。

假设$G^2(x)=F(x)(mod$$x^n)$

我们要求$H^2(x)=F(x)(mod$$x^{2n})$

$(G^2(x)-F(x))^2=0(mod$$x^2n)$

$(G^2(x)+F(x))^2=4*G^2(x)*F(x)(mod$$x^{2n})$

$(\frac{G^2(x)+F(x)}{2*G(X)})^2=F(x)(mod$$x^{2n})$

故$H(x)=2^{-1}*G(x)+2^{-1}*G^{-1}(x)*F(x)$

求逆O(nlogn)相乘O(nlogn)

所以总复杂度T(n)=T(n/2)+O(nlogn)=O(nlogn).

代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 262144
#define mod 998244353
using namespace std;
typedef int ll;
int n,m;
ll c[N],Inv2,root_c[N],inv_root_c[N];
int rev[N];
long long Quick_Power(long long x,ll y,ll MOD)
{
    long long ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=(ret*x)%MOD;
        x=(x*x)%MOD;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
void NTT(ll *a,int n,int f)
{
    for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int h=2;h<=n;h<<=1)
    {
        ll wn=Quick_Power(3,(mod-1)/h,mod);
        for(int i=0;i<n;i+=h)
        {
            ll w=1;
            for(int j=0;j<(h>>1);j++,w=(long long)w*wn%mod)
            {
                ll t=(long long)a[i+j+(h>>1)]*w%mod;
                a[i+j+(h>>1)]=((a[i+j]-t)%mod+mod)%mod;
                a[i+j]=(a[i+j]+t)%mod;
            }
        }
    }
    if(f==-1)
    {
        for(int i=1;i<(n>>1);i++)swap(a[i],a[n-i]);
        ll inv=Quick_Power(n,mod-2,mod);
        for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(long long)a[i]*inv%mod;
    }
}
void Get_Inv(ll *a,ll *b,int n)
{
    static ll temp[N];
    if(n==1)
    {
        b[0]=Quick_Power(a[0],mod-2,mod);
        return;
    }
    Get_Inv(a,b,n>>1);
    memcpy(temp,a,sizeof(a[0])*n);
    memset(temp+n,0,sizeof(a[0])*n); 
    int m=n,L=0,nn=n;
    for(n=1;n<=m;n<<=1)L++;
    for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    NTT(temp,n,1),NTT(b,n,1);
    for(int i=0;i<n;i++)
        temp[i]=(long long)b[i]*(((2ll-(long long)temp[i]*b[i]%mod)%mod+mod)%mod)%mod;
    NTT(temp,n,-1);
    for(int i=0;i<(n>>1);i++)b[i]=temp[i];
    memset(b+nn,0,sizeof(b[0])*nn);
    n=nn;
}
void Get_Root(ll *a,ll *b,int n)
{
    static ll temp[N],inv_b[N];
    if(n==1)
    {
        b[0]=1;
        return;
    }
    Get_Root(a,b,n>>1);
    memset(inv_b,0,sizeof(a[0])*n);
    Get_Inv(b,inv_b,n);
    memcpy(temp,a,sizeof(a[0])*n);
    memset(temp+n,0,sizeof(a[0])*n);
    int m=n,L=0,nn=n;
    for(n=1;n<=m;n<<=1)L++;
    for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    NTT(temp,n,1),NTT(b,n,1),NTT(inv_b,n,1);
    for(int i=0;i<n;i++)
        temp[i]=(long long)Inv2*((b[i]+(long long)inv_b[i]*temp[i]%mod)%mod)%mod;
    NTT(temp,n,-1);
    for(int i=0;i<(n>>1);i++)b[i]=temp[i];
    memset(b+nn,0,sizeof(b[0])*nn);
    n=nn;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll x;
        scanf("%d",&x);
        c[x]++;
    }
    Inv2=Quick_Power(2,mod-2,mod);
    c[0]=((1-c[0])%mod+mod)%mod;
    for(int i=1;i<=100000;i++)
        c[i]=((-4*c[i])%mod+mod)%mod;
    int l;
    for(l=1;l<=m;l<<=1);
    Get_Root(c,root_c,l);
    root_c[0]=(1+root_c[0])%mod;
    Get_Inv(root_c,inv_root_c,l);
    for(int i=0;i<=100000;i++)
        inv_root_c[i]=((long long)2*inv_root_c[i])%mod;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        printf("%d\n",inv_root_c[i]);
}