使用级数理论解释龟兔赛跑问题

使用级数理论解释龟兔赛跑问题

首先简要介绍一下该问题的原型：首先乌龟在兔子前面一段距离，现在它们开始进行赛跑(当然兔子的速度肯定远快于乌龟)。然后下面的罗素悖论就出现了：当兔子跑到乌龟出发的位置时，这段时间乌龟已经跑了一段距离(当然这段距离有可能很短)。然后兔子又去跑刚才乌龟跑的那段距离。而这时候，乌龟又跑了一段距离(当然这段距离可能更短).然后兔子又要去跑乌龟刚跑的那段更短的距离.......然后给人一种感觉，兔子永远都追不上乌龟。永远都跟在它的后面跑。

不过这个问题已经在现代分析学中使用级数理论进行了解释，用专业数学术语说，在兔子追乌龟的过程中，使用的时间是收敛的。

下面我们抽象一个数学模型解释这个问题。

假设乌龟在兔子的前面距离为S,兔子的速度为V1,乌龟的速度为V2,,在追的过程中使用的总时间记为T.(其中V1>>V2)

记 C=V2/V1
下面分析一下这个问题，当兔子跑间隔S这段距离花的时间 T1=S/V1.
在这段时间之内乌龟又跑了的距离 S1=T1*V2
而跑完乌龟刚跑完的这段距离兔子又花了时间 T2=S1/V1=S*V2/(V1*V1)=(S/V1)*C
在T2时间之内乌龟又跑了 S2=T2*V2
而兔子跑完这段距离花的时间 T3=S2/V1=(S/V1)*C*C
...
从上面的分析不难得出总时间 T=T1+T2+T3+.....

T=S/V1+(S/V1)*C+(S/V1)*C^2+...=(S/V1)(1+C+C^2+C^3+...)
不难看出此为一个等比数列(在数学分析中称为几何级数或等比级数)

我们用极限理论简要分析一下(几何级数中因为C<1,很容易得出它是收敛的，收敛的结果为 S/(V1*(1-C))=S/(V1-V2),这和我们用小学数学算出的追赶时间是一致的，哈哈哈 )

利用等比数列的求和公式：

T=(S/V1)*(1-C^n)/(1-C) ---C<<1
当n趋向于正无穷大时：C^n趋于0，所以
T=S/(V1*(1-C))=S/(V1-V2)
证毕

经过上面的一系列分析，龟兔赛跑的追赶时间是收敛的，且毫不意外的收敛于 S/(V1-V2)。所以兔子是能够追得上乌龟的。时间即为该收敛时间。