Chapter 2 Solving Linear Equations

2.1 Vectors and Linear Equations

对于这样一个方程组

有两种方式观察这个2x2的方程组
第一种：
横着看——看行图像

可以发现

第二种：
竖着看——看列图像

我们可以发现

从行图像中我们已经求出了x和y的值，那么对应到列图像中就是

我们可以看到左边的向量等式就是列向量的线性组合

对于使用矩阵消元，有四点需要注意：

对于3x3的线性方程组

同样的方式：

我们可以将线性方程组写成：

进而有两种思路去求解：


推荐使用第二种，列向量的线性组合。

2.2 The Idea of Elimination

2.3 Elimination Using Matrices

消元矩阵$E$的作用：
$E$的第二行的含义是将后面的列向量中的第一行的$(-2)$倍与第二行之和

矩阵相乘

置换矩阵

增广矩阵

2.4 Rules for Matrix Operation

$AB$中的每一列是$A$中每一列的线性组合，组合的系数由$B$中的每一列提供

同时，也有

$AB$中的每一行是$B$中每一行的线性组合，组合的系数由$A$中的每一行提供

分块矩阵

列乘行

实例：

分块消元

2.5 Inverse Matrices

不是所有的矩阵都有逆
注意：
1.当且仅当消元之后有n个pivots时逆才存在
2.$A$只能有一个逆
3.如果$A$可逆，对于$Ax=b$只有一种解法

4.
5.如果$A$可逆，其行列式不为0
6.
对角矩阵中主对角线上的元素非零时，有逆

2.6 Elimination=Factorization：A=LU

求解$Ax=b$