蓝桥杯-算法锻炼-最短路

蓝桥杯-算法训练-最短路

问题描述

给定一个n个顶点，m条边的有向图（其中某些边权可能为负，但保证没有负环）。请你计算从1号点到其他点的最短路（顶点从1到n编号）。

输入格式

第一行两个整数n, m。

接下来的m行，每行有三个整数u, v, l，表示u到v有一条长度为l的边。

输出格式

共n-1行，第i行表示1号点到i+1号点的最短路。

样例输入

3 3
1 2 -1
2 3 -1
3 1 2

样例输出

-1
-2

数据规模与约定

对于10%的数据，n = 2，m = 2。

对于30%的数据，n <= 5，m <= 10。

对于100%的数据，1 <= n <= 20000，1 <= m <= 200000，-10000 <= l <= 10000，保证从任意顶点都能到达其他所有顶点。

什么鬼，开始没认真看数据范围，以为都是两万之内，原来m小于二十万，所以超时了，只给了七十分，这两天看了四种关最短路径的问题，diijkstra，flody，bellman-ford，SPFA，然并卵，没有真正掌握它们，但是我还是有一些总结的，关于这四种算法：
dijkstra适用于边权没负数，且数据可处理大一些的，二而flody代码简单，但容易超时，也是处理无负数边，这两个都不能处理回向图；而bellman可处理负数边权，但是数据大了会超时，用SPFA可处理超时问题，但是它用了队列知识，并且代码较其它复杂。
这道题要用SPFA算法，bellman算法会超时

定理: 只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。

证明：

　　每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。（证毕）

期望的时间复杂度O(ke)，其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAX 200001
#define INF 99999999
typedef struct XNode
{
    int pow;//边的权值
    int adjvex;//点
    struct XNode *next;
}Node;
Node * head[MAX];
int visit[MAX],dis[MAX];
void add(int u,int v,int w)
{
    Node *p;
    p=(Node*)malloc(sizeof(Node));
    p->pow=w;
    p->adjvex=v;
    p->next=head[u];
    head[u]=p;
}
void SPFA(int n)
{
    int u,v,w;
    queue<int>Q;//这个算法关键使用队列来处理问题
    Node *p;
    for(int i=1;i<=n;i++)//初始化
    {
        visit[i]=0;
        dis[i]=INF;
    }
    Q.push(1);//头结点进队
    dis[1]=0;
    visit[1]=1;
    while(!Q.empty())//直到队列为空才结束循环
    {
        u=Q.front();//头结点
        Q.pop();//进队
        for(p=head[u];p!=NULL;p=p->next)
        {
            v=p->adjvex;
            w=p->pow;
            if(dis[u]+w<dis[v])
            {
                dis[v]=dis[u]+w;
                if(!visit[v])
                {
                    visit[v]=1;
                    Q.push(v);//出队
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int n,m,u,v,w;
    while(cin>>n>>m){
    memset(head,NULL,sizeof(head));//初始化
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
    add(u,v,w);
    }
    SPFA(n);
    for(int i=2;i<=n;i++)
        cout<<dis[i]<<endl;
    }
    return 0;
}

我也把bellman算法写的代码也贴上去把，虽然超时了，但是对于其它数据小一点的题目还是可以过的，在这里分清两种算法

#include <iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 9999999
typedef struct
{
    int u,v,cost;
}Edge;
Edge edge[200001];
int pre[200001];
int dis[200001];
int m,n;
int original;
bool bellman_ford()
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
        dis[i]=MAX;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        if(dis[edge[j].v]>dis[edge[j].u]+edge[j].cost)
    {
        dis[edge[j].v]=dis[edge[j].u]+edge[j].cost;
        pre[edge[j].v]=edge[j].u;
    }
    bool flag=true;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(dis[edge[i].v]>dis[edge[i].u]+edge[i].cost)
        {
            flag=false;
            break;
        }
    }
    return flag;
}
int main()
{
    while(cin>>n>>m)
    {
        pre[1]=0;
        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].cost);
            //cin>>edge[i].u>>edge[i].v>>edge[i].cost;
        }
        if(bellman_ford())
            for(int i=2;i<=n;i++)
            cout<<dis[i]<<endl;
    }
    return 0;
}

蓝桥杯-算法锻炼-最短路

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