一、Gibbs采样概述

前面介绍的Metropolis-Hastings采样为从指定分布中进行采样提供了一个统一的框架，但是采样的效率依赖于指定的分布的选择，若是选择的不好，会使得接受率比较低，大量的采样被拒绝，影响到整体的收敛速度。

Gibbs采样是Metropolis-Hastings采样算法的特殊形式，即找到一个已知的分布，使得接受率$\alpha =1$。这样，每次的采样都会被接受，可以提高MCMC的收敛速度。

二、Gibbs采样算法的流程

在这部分，先直接给出Gibbs采样算法的流程，对于Gibbs采样算法的有效性将在第三部分给出论述，Gibbs采样算法的具体流程如下所述：

• 初始化时间$t=1$
• 设置$\mathbf{u}=\left ( u_1,u_2,\cdots ,u_N \right )$的值，并初始化初始状态$\Theta ^{\left (t \right )}=\mathbf{u}$
• 重复以下的过程：
  
  • 令$t=t+1$
  • 对每一维：$i=1,2,\cdots N$
    
    • $\theta _1^{\left ( t \right )}\sim p\left ( \theta _1\mid \theta _2^{\left ( t-1 \right )},\cdots ,\theta _N^{\left ( t-1 \right )} \right )$
    • $\theta _2^{\left ( t \right )}\sim p\left ( \theta _2\mid \theta _1^{\left ( t \right )},\cdots ,\theta _{N}^{\left ( t-1 \right )} \right )$
    • $\cdots$
    • $\theta _{N-1}^{\left ( t \right )}\sim p\left ( \theta _{N-1}\mid \theta _1^{\left ( t \right )},\cdots ,\theta _{N}^{\left ( t-1 \right )} \right )$
    • $\theta _N^{\left ( t \right )}\sim p\left ( \theta _N\mid \theta _1^{\left ( t \right )},\cdots ,\theta _{N-1}^{\left ( t \right )} \right )$
• 直到$t=T$

Gibbs采样有一个缺陷，必须知道条件分布。

三、上述过程满足细致平稳条件

为简单起见，我们假设所需采样的分布为一个二元分布$f\left ( x,y \right )$，假设两个状态为$\left ( x_1,y_1 \right )$和$\left ( x_1,y_2 \right )$。已知：

$$p\left ( x_1,y_1 \right )\cdot p\left ( y_2\mid x_1 \right )=p\left ( x_1 \right )\cdot p\left ( y_1\mid x_1 \right )\cdot p\left ( y_2\mid x_1 \right )$$

$$p\left ( x_1,y_2 \right )\cdot p\left ( y_1\mid x_1 \right )=p\left ( x_1 \right )\cdot p\left ( y_2\mid x_1 \right )\cdot p\left ( y_1\mid x_1 \right )$$

所以有：

$$p\left ( x_1,y_1 \right )\cdot p\left ( y_2\mid x_1 \right )=p\left ( x_1,y_2 \right )\cdot p\left ( y_1\mid x_1 \right )$$

由此可见，Gibbs采样的过程是满足细致平稳条件的。这里直接取$p\left ( y_2\mid x_1 \right )$为转移概率，则$\alpha =1$，可见Gibbs采样算法是Metropolis-Hastings采样的特殊形式。

四、实验

4.1、前提

假设从二项正态分布中进行采样，假设$\Theta =\left ( \theta _1,\theta _2 \right )$，且：

$$\Theta \sim Norm\left (\mu ,\Sigma \right )$$

其中

$$\mu =\left ( \mu _1,\mu _2 \right )$$

$$\Sigma =\begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}$$

已知：

$$\theta _1\sim Norm\left ( \mu _1+\rho \left ( \theta _2-\mu _2 \right ), \sqrt{1-\rho ^2} \right )$$

$$\theta _2\sim Norm\left ( \mu _2+\rho \left ( \theta _1-\mu _1 \right ), \sqrt{1-\rho ^2} \right )$$

4.2、流程

• 初始化时间$t=1$
• 设置$\mathbf{u}=\left ( u_1,u_2 \right )$的值，并初始化初始状态$\Theta ^{\left (t \right )}=\mathbf{u}$
• 重复以下的过程：
  
  • 令$t=t+1$
  • 对每一维：$i=1,2$
    
    • $\theta _1^{\left ( t \right )}\sim Norm\left ( \mu _1+\rho \left ( \theta _2-\mu _2 \right ), \sqrt{1-\rho ^2} \right )$
    • $\theta _2^{\left ( t \right )}\sim Norm\left ( \mu _2+\rho \left ( \theta _1-\mu _1 \right ), \sqrt{1-\rho ^2} \right )$
• 直到$t=T$

4.3、实验代码

'''
Date:20160704
@author: zhaozhiyong
'''
import random
import math
import matplotlib.pyplot as plt

def p_ygivenx(x, m1, m2, s1, s2):
    return (random.normalvariate(m2 + rho * s2 / s1 * (x - m1), math.sqrt(1 - rho ** 2) * s2))

def p_xgiveny(y, m1, m2, s1, s2):
    return (random.normalvariate(m1 + rho * s1 / s2 * (y - m2), math.sqrt(1 - rho ** 2) * s1))

N = 5000
K = 20
x_res = []
y_res = []
m1 = 10
m2 = -5
s1 = 5
s2 = 2

rho = 0.5
y = m2

for i in xrange(N):
    for j in xrange(K):
        x = p_xgiveny(y, m1, m2, s1, s2)
        y = p_ygivenx(x, m1, m2, s1, s2)
        x_res.append(x)
        y_res.append(y)

num_bins = 50
plt.hist(x_res, num_bins, normed=1, facecolor='green', alpha=0.5)
plt.hist(y_res, num_bins, normed=1, facecolor='red', alpha=0.5)
plt.title('Histogram')
plt.show()

4.4、实验结果