题解2.9 最大公约数之和 UVa11426

例题2.9 最大公约数之和 UVa11426

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2.解题思路：本题利用线性筛+打表解决。设f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n).那么最终的答案就是S(n)=f(2)+f(3)+...+f(n)。因此，只需要快速计算f(n)，即可递推得到所有答案。注意到gcd(x,n)是n的约数，我们不妨利用约数来分类计数。令g(n,i)表示gcd(x,n)=i且x<n的数的个数。那么f(n)=sum{i*g(n,i)|i是n的约数}。又注意到gcd(x,n)=i的个数和gcd(x/i,n/i)=1的个数一样，即phi(n/i)个，因此，f(n)=sum{i*phi(n/i)|i是n的约数}。此处我们可以利用线性筛素数的思想，枚举i的倍数j，然后更新所有的f[j]即可。

3.代码：

//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#include<string>
#include<sstream>
#include<set>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<functional>
using namespace std;

#define me(s)  memset(s,0,sizeof(s))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair <int, int> P;



const int N=4000000+10;

int phi[N];
void phi_table(int n)
{
    for(int i=2;i<n;i++)phi[i]=0;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<n;i++)
        if(!phi[i])
        for(int j=i;j<n;j+=i)
        {
            if(!phi[j])phi[j]=j;
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
        }
}

ll S[N+1],f[N+1];

int main()
{
    phi_table(N);  
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int i=1;i<N;i++)
        for(int n=i*2;n<N;n+=i) //利用线性筛法，计算f[n]
        f[n]+=i*phi[n/i];

    S[2]=f[2];
    for(int n=3;n<N;n++)
        S[n]=S[n-1]+f[n];//递推得到S[n]
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)&&n)
    {
        printf("%lld\n",S[n]);
    }
}