多层网络跟反向传播笔记

在我之前的博客中讲到了感知器（感知器），它是用于线性可分模式分类的最简单的神经网络模型，单个感知器只能表示线性的决策面，而反向传播算法所学习的多层网络能够表示种类繁多的非线性曲面。

对于多层网络，如果使用线性单元的话，多个线性单元的连接仍然是线性函数，所以还不能表征非线性函数。使用感知器单元，但是它不连续所以也就不可微，不适合梯度下降算法。我们需要这么一种单元，它的输出是输入的非线性函数，而且输出是输入的可微函数。那么可以使用sigmoid单元，它非常类似于感知器单元，而且基于一个平滑的可微阈值函数，It looked like this:

sigmoid函数公式如下：

$$\sigma (y)=\frac{1}{1+e^{-y}}$$ 它的输出范围为[0,1]，随输入单调递增，这个函数把非常大的输入值映射到一个小范围的输出，它经常被称为sigmoid单元的挤压函数（squashing function）。sigmoid函数的导数很容易以它的输出表示，即 $$\frac{d\sigma (y)}{dy}=\sigma (y)·(1-\sigma (y))$$ 有时候可以使用其他容易计算导数的可微函数代替，比如sigmoid函数中的$e^{-y}$ 有时候被替换为$e^{-ky}$ 其中$k$ 是个正常数，用来决定函数的陡峭性。双曲正切函数也可用来代替sigmoid函数 。

对于由一系列确定的单元相互连接形成的多层网络，反向传播算法可以用来学习这个网络的权值，它使用梯度下降方法来最小化网络输出值和目标值之间的误差平方。

在这里我们要考虑网络中多个输出单元，而不是一个单元，所以可以看到下面的误差公式中要计算两次和：

$$E(\vec{w}) \equiv \frac{1}{2} \sum_{d\in D} \sum_{k\in outputs}(t_{kd}-o_{kd})^2$$ 其中$outputs$ 是网络输出单元的集合，$t_{kd}$ 和$o_{kd}$ 是与训练样例$d$ 和第$k$ 个输出单元相关的输出值。

反向传播算法需要解决的问题是搜索一个巨大的假设空间，这个空间由网络中所有单元的所有可能权值定义，此时可以用一个误差曲面来形象表示。在和训练单个单元的情况一样，梯度下降可以用来寻找使$E$ 最小化的一个假设。

多层网络的一个主要不同是它的误差曲面可能有多个局部最小值，那么这就会带来一个问题，使用梯度下降的时候不能保证一定能收敛到全局最小值。不过在实践中反向传播都产生了出色的结果。

反向传播首先把输入$\vec{x}$ 沿网络前向传播，然后计算每个单元$u$ 的输出$o_u$ ，然后是误差沿网络反向传播（反向传播算法名字应该就是这么得来的吧），对于网络的每个输出单元$k$ ，计算它的误差项$\delta_k$ ：

$$\delta_k \gets o_k(1-o_k)(t_k-o_k)$$ 对于网络的每个隐藏单元$h$ 计算它的误差项$\delta_h$ : $$\delta_h \gets o_h(1-o_h) \sum w_{kh}\delta_k$$ 更新每个网络的权值$w_{ji}$ : $$w_{ji} \gets w_{ji}+\Delta w_{ji}$$ 其中 $$\Delta w_{ji} = \eta \delta_jx_{ji}$$ 反向传播已经开发除了许多变种，最常见的是修改权值更新法则，使第$n$ 次迭代的权值更新部分依赖于第$n-1$ 次迭代时的更新，即 $$\Delta w_{ji}(n) = \eta\delta_jx_{ji} + \alpha\Delta w_{ji}(n-1)$$ 其中$\alpha \in [0,1)$ ，一个冲量常数，上式右边第二项叫做冲量项。