线性方程的几何意义

二元线性方程

　　该方程是一个二元线性方程组，包含两个方程，每个方程是一条直线，两条直线的交点就是该方程有唯一解，这就是二元线性方程的几何意义。

三元线性方程

　　二元线性方程表示一条直线，三元线性方程中三维坐标系中表示一个平面。

　　方程x + 4y + z = 8，在xyz三个坐标轴上的截距分别是(8,0,0),(0,2,0),(0,0,8)，下图是该函数在坐标轴上的示意图：

　　需要注意的是，平面是无限延伸的。

　　另一个方程x + y + 3z = 3，与第一个方程的平面相交与一条直线：

　　三元线性方程组  在坐标系中将交于一点，这个点就是方程组的解。

求解线性方程

　　当然可以使用初中的代数知识求解线性方程组，这里主要讨论如何用矩阵求解。

消元法

　　首先将方程组以矩阵的方式表示：

　　该矩阵称为增广矩阵。由于是线性方程组，可以省略未知数：

　　现在可以对其进行消元，首先消去x，方法与普通代数法类似：

　　用同样的方法对y消元：

　　矩阵第三行对应-31z = 62，z = -2

　　最终可解得

　　可以看出，消元法本质上与初中的代数法没有区别，只是换了一种较为简单的表现形式，对于多元线性方程组，其消元过程十分繁琐。

矩阵法

　　这里需要使用列向量的概念，列向量是一个 n×1 的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的列所组成：列向量的转置是一个行向量，反之亦然。

　　将上面的方程组用矩阵和向量表示：

　　实际上可看作 x = b/A，有点意思了，可以通过一个除法运算直接求得方程的解。

　　解得

　　对于多元线性方程组，使用矩阵法求解比消元法简单的多。

　　我们用python求解消元法中的方程组

1 import numpy as np
2 
3 a = np.matrix([[-1,2,-1],[3,-7,-2],[2,2,1]])
4 c = np.matrix([[9,-20,2]]).T
5 result = a**-1 * c
6 print(result)

无解的方程组

　　线性方程组在用矩阵向量法转换后，如果矩阵A是奇异矩阵，A^-1没有定义，该方程组无解。对于二元线性方程组来说，其几何意义是两条平行的直线。

　　如  ，该方程组无解，  是奇异矩阵。下图是该方程组在坐标轴上的图像：

总结

1. 二元线性方程组的几何意义是平面上的两条直线，其解是二者的交点
2. 三元线性方程组的几何意义是三维空间上的三个平面，其解是三者的交点
3. 可以使用消元发和矩阵向量法求解线性方程
4. 如果线性方程组对应的矩阵是奇异矩阵，则该方程组无解

 　　作者：我是8位的

　　出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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