【数学题-递推觅规律】BNU 4225 杨辉三角形

【数学题-递推找规律】BNU 4225 杨辉三角形

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【题目大意】

LZM同学比较牛，Lsy最近也越来越生猛，他们思路快，代码速度神勇。近期惊闻此二人均要参加校赛，队里决定出些题目卡他们，因为他们的罢工给题目组留下了繁重的负担……（报复报复）

于是，XsugarX瞄准了LZM不太喜欢看的数学题目以及Lsy猜公式的喜好，奸笑中（^.^）。这个数学问题是个比较古老的问题，有如下图的三角形被称为杨辉三角形：

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

我们记第一个1为第0行，往下依次编号。

其中三角形左右两斜边上的数字均为1，其他位置均为其两肩上的数之和。

此两牛看到偶数就会觉得复杂，被卡的时间与偶数的个数成正比，XsugarX希望能卡他们的时间越久越好。

给定任意杨辉三角的行数n，请输出杨辉三角中前n行中总共有多少偶数。

【解题思路】

在机房点击bnu的oj，发现首页推荐了这道题，点进去一看，原来是道数学题，好久没怎么做做数学的题了，于是就做了

其实之前一直做过类似的题，感觉是要推规律，下面给出代码

//方法一：直接模拟 times:1000ms

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e7;
const int maxn=3000000;
long long sum[maxn+10];
int main()
{
    int i,j;
    sum[0]=1,sum[1]=sum[2]=2,sum[3]=4;
    int res=4;
    for(i=4;i<=maxn;)//第i行奇数个数
    {
        for(j=0;j<res&&i<=maxn;i++,j++)
            sum[i]=sum[j]*2;
        res*=2;
    }
    for(i=0; i<=maxn; i++)//第i行偶数个数
        sum[i]=i+1-sum[i];
    for(i=1; i<=maxn; i++) //前i行偶数个数
        sum[i]=(sum[i]+sum[i-1])%mod;
    long long n;
    while(cin>>n)
    {
        printf("%lld\n",sum[n]);
    }
    return 0;
}
/*1    --0  1
1 1  --1  2
1 2 1   --2 2
1 3 3 1   --3 4
1 4 6 4 1  --4 2
1 5 10 10 5 1 --5 6
1 6 15 20 15 6 1 --6 9
1 7 21 35 35 21 7 1 --7 9
*/

//方法二：进制，times:Time Limit Exceed

/*
第n行里面奇数的个数等于2^K 个，
k等于n二进制数里面1的个数。
*/
#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e7;
const int maxn=3000000;
long long  sum[maxn+10];


int solve(int n)//n二进制数里面1的个数
{
    int s=0;
    while(n!=0){
        if(n%2==1) s++;
        n/=2;
    }
    return s;
}
void init()
{
    int i,j;
    for(i=0;i<maxn;i++){
        sum[i]=i+1;       //第i行总共有多少元素
        sum[i]=sum[i]-(1<<solve(i));//第i行偶数个数
    }
    for(i=1;i<maxn;i++)
    sum[i]=(sum[i]+sum[i-1])%mod;
}
int main()
{
    int n;
    init();
    scanf("%lld",&n);
    printf("%lld\n",sum[n]);
    return 0;
}

//方法三：一边计算一边累加，times:296ms

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e7;
const int maxn=3000000;
long long  sum[maxn+10];
int main()
{
    long long s=0,ans;
    int n,t;
    scanf("%d",&n);
    while(n>=0)
    {
        t=n;
        ans=1;
        while(t)
        {
            if(t%2==1)
            ans*=2;
            t/=2;
        }
        s+=n+1-ans;
        n--;
    }
    printf("%lld\n",s%mod);
    return 0;
}

【数学题-递推觅规律】BNU 4225 杨辉三角形

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