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[UOJ310]黎明前的巧克力 [UOJ310]黎明前的巧克力

分类: IT文章 • 2024-09-21 12:02:43

Tags：题解

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TAG：FWT

题意

在集合中选出任意多数，使得异或和为(0)，再将其分为两个有区别的可空集合的方案数（两集合不能都为空）

题解

考虑生成函数
如果选出一个异或和为(0)的集合大小为(k)，那么对答案的贡献就是(2^k)，于是把系数置为(2)
假设(n)个数的生成函数为(2x^{a[i]})，分别为(A,B,C...)
那么答案就是((A*B)[0],(B*C)[0],(A*B*C)[0]...)（异或卷积）
我们可以把每个生成函数的(0)次项置为(1)，那么答案就直接是((A*B*C...)[0])

就应该是(Ans=FWT(A)*FWT(B)*FWT(C)...)（每一位对应乘）
然后再把(Ans)给(UFWT)回来就是答案了
由于(FWT)的可加性（证明戳我）
大概就是说(FWT)的本质就是高维前缀和，两个数组先算前缀和再加和先加再算前缀和的效果是一样的

(FWT(A+B)=FWT(A)+FWT(B))

而且每个多项式都很特殊，(0)位上为(1)会对每一位做贡献，(a[i])位为(2)会对一些位做(2)的贡献对另一些位做(-2)的贡献（因为是异或卷积所以每一位的数(FWT)后都会对所有的位造成影响），由此每一位要么为(-1)要么为(3)
所以按位加，共(n)个多项式，最后的值为(val)，则(3)的个数为(x)，(3*x+(-1)*(n-x)=val)，可以得到该位上(3)的总个数
最后是要乘起来的，所以(-1)只是变符号，((-1)^{n-x}3^x)就是(Ans)的该位的值了，最后(UFWT)回来(Ans[0]-1)即为答案（多算了全是空集的一种情况）

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
int read()
{
	char ch=getchar();int h=0,t=1;
	while((ch>'9'||ch<'0')&&ch!='-') ch=getchar();
	if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') h=h*10+ch-'0',ch=getchar();
	return h*t;
}
const int mod=998244353;
const int N=1<<21;
const int inv=499122177;
int n,A[N],B[N],bit3[N],l;
void FWT_xor(int *P,int op)
{
	for(int i=1;i<l;i<<=1)
		for(int j=0,p=i<<1;j<l;j+=p)
			for(int k=0;k<i;k++)
			{
				int X=P[j+k],Y=P[j+k+i];
				P[j+k]=1ll*(X+Y)%mod*op%mod;
				P[j+k+i]=1ll*((X-Y)%mod+mod)*op%mod;
			}
}
int main()
{
	n=read();A[0]=n;bit3[0]=1;int mx=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) bit3[i]=bit3[i-1]*3ll%mod;
	for(int i=1,x;i<=n;i++) A[x=read()]+=2,mx=max(mx,x);
	for(l=1;l<=mx;l<<=1);
	FWT_xor(A,1);
	for(int i=0;i<l;i++)
	{
		int x=(3ll*n-A[i]+mod)*inv%mod*inv%mod;
		A[i]=bit3[n-x]; if(x&1) A[i]=mod-A[i];
	}
	FWT_xor(A,inv);
	printf("%d
",(A[0]-1+mod)%mod);
}

带一个FWT板子

// luogu-judger-enable-o2
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int N=1100000;
int F[N],G[N],A[N],B[N],C[N],n,m;
void Plus(int &a,int b) {a+=b;if(a>mod)a-=mod;}
void FWT_or(int *P,int op)
{
    for(int i=1;i<m;i<<=1)
        for(int p=i<<1,j=0;j<m;j+=p)
            for(int k=0;k<i;k++)
                Plus(P[j+k+i],1ll*P[j+k]*op%mod);
}
void FWT_and(int *P,int op)
{
    for(int i=1;i<m;i<<=1)
        for(int p=i<<1,j=0;j<m;j+=p)
            for(int k=0;k<i;k++)
                Plus(P[j+k],1ll*P[j+k+i]*op%mod);
}
void FWT_xor(int *P,int op)
{
    for(int i=1;i<m;i<<=1)
        for(int p=i<<1,j=0;j<m;j+=p)
            for(int k=0;k<i;k++)
            {
                int X=P[j+k],Y=P[j+k+i];
                P[j+k]=1ll*op*(X+Y)%mod;
                P[j+k+i]=1ll*op*(X-Y+mod)%mod;
            }
}
void Mul()
{
    for(int i=0;i<m;i++) C[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);n=1<<n;m=n<<1;
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&F[i]);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&G[i]);

    memcpy(A,F,sizeof(A));memcpy(B,G,sizeof(B));
    FWT_or(A,1);FWT_or(B,1);Mul();FWT_or(C,mod-1);
    for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",C[i]);puts("");
    
    memcpy(A,F,sizeof(A));memcpy(B,G,sizeof(B));
    FWT_and(A,1);FWT_and(B,1);Mul();FWT_and(C,mod-1);
    for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",C[i]);puts("");
    
    memcpy(A,F,sizeof(A));memcpy(B,G,sizeof(B));
    FWT_xor(A,1);FWT_xor(B,1);Mul();FWT_xor(C,(mod+1)/2);
    for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",C[i]);puts("");
    return 0;
}

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