2.2 数据结构---数组(查找) 一、如何找出数组中丢失的数 二、如何找出旋转数组中的最小元素 三、找数组中的最大值和最小值 四、如何找出数组中出现奇数次的数 五、找出数组中第k小的数 六、找出数组中前k大的数(O(N))
题目描述:给定一个由n-1个整数组成的未排序的数组序列,其原始都是1到n中的不同的整数,请写出一个寻找数组序列中缺失整数的线性时间算法
方法1:累加求和 时间复杂度是O(N)
方法2:异或法,要先对实际无缺失的arr中的值异或,然后再对估计的值异或;缺失的值就是最终异或得到的值 时间复杂度O(N)
方法3:遍历一遍,用字典记录数字出现的次数,遇到出现2次的就返回
方法1、2代码
from functools import reduce class Solution: def getNum1(self,arr):#累加求和 real_list = [i for i in range(1,len(arr)+2)] real_sum = reduce(lambda x,y:x+y,real_list) estimate_sum = sum(arr) return real_sum-estimate_sum def getNum2(self,arr): real_list = [i for i in range (1, len (arr) + 2)] real_ = reduce(lambda x,y:x^y,real_list) estimate_ = reduce(lambda x,y:x^y,arr) return real_^estimate_ S = Solution() res = S.getNum2(arr=[1,4,3,2,7,5]) print(res)
二、如何找出旋转数组中的最小元素
题目描述:将一个有序数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾,称之为数组的旋转。输入一个排好序的数组的一个旋转,输出旋转数组的最小元素。例如数组[3,4,5,1,2]为数组[1,2,3,4,5]的一个旋转,该数组的最小值为1
方法1:遍历该数组的所有元素,选出最小的元素
方法2:二分查找
【1】如果中间值比右边值大,说明最小值在右侧
【2】如果中间值比右边值小,说明最小值在左侧
【3】如果中间值比前一个值大, 那中间值一定是最小值
【4】如果中间值比后一个值大,那后一个值一定是最小值
【5】如果中间值等于low值,且中间值等于high值,则无法判断最小值在哪,需要求出两边分别的最小值,再比较
分析:二分查找时间复杂度是O(log2N),最坏情况O(N)[第五种情况]
难点在于要考虑2种情况:
【1】数组中元素只全部相等,如[1,1,1,1]
【2】数组中元素只大部分都相等,如[1,0,1,1,1,1]
方法2代码如下:
def getMin1(arr,low,high): if high < low: return arr[0] if high == low:#只剩下一个元素一定是最小值 return arr[low] mid = (low+high) // 2 if arr[mid] < arr[mid-1]:#45123,1一定是最小值【奇数】 return arr[mid] elif arr[mid+1] < arr[mid]: #456123,1一定是最小值【偶数】 return arr[mid+1] elif arr[mid] > arr[high]:#最小值在右侧 low = mid + 1 return getMin1(arr,low,high) elif arr[mid] < arr[high]:#最小值在左侧 high = mid return getMin1(arr,low,high) else:#这种情况无法确定最小值所在的位置,需要左右两部分分别查找 return min(getMin1(arr,low,mid-1),getMin1(arr,mid+1,high)) def getMin(arr): if not arr: return else: return getMin1(arr,0,len(arr)-1)
引申:如何实现旋转数组功能?
思路:先分别对两个子数组内部进行交换,然后再对两个数组进行交换
举例:x1=[1,2,3],x2=[4,5,6]--->x1'=[3,2,1],x2'=[6,5,4]
--->x'=[3,2,1,6,5,4]
--->x=[4,5,6,1,2,3] 最终结果
#方法一:空间复杂度O(N) def rotateArr(arr,div): ''' :param arr: :param div:分为两个数组的切割点 :return: ''' arr1 = arr[:div+1] arr2 = arr[div+1:] return arr2+arr1 #方法二:时间复杂度O(N),空间复杂度O(1) def rotateArr1(arr,div): def swap(arr,low,high): while low < high: arr[low],arr[high] = arr[high],arr[low] low += 1 high -= 1 if not arr or div < 0 or div >= len(arr): return # if div == 0 or div == len(arr) - 1: # return swap(arr,0,div)#交换第一个子数组 print(arr) swap(arr,div+1,len(arr)-1)#交换第二个子数组 print(arr) swap(arr,0,len(arr)-1)#交换整个数组 print(arr) return arr
三、找数组中的最大值和最小值
题目描述:给定数组,找出最大值和最小值,假设值两两不相同
方法1: 遍历一遍,记录最大最小值
最差情况,要比较2n-2次;最好情况,比较n-1次
时间复杂度:O(n)
方法2: 分治法,两两分组,对组中的两个元素排序,找最大值就找组内第二个元素,找最小值就找组内第一个元素;最后一个元素要特殊考虑一下
比较次数n/2,找最大最小值比较2*(n/2-1)次,总比较次数 3n/2-2次
时间复杂度:O(n)
方法3:递归实现分治法
思路:将数组分成两部分,先求出左半部分的最大值和最小值,再求出右半部分的最大值和最小值,然后综合起来,左右两部分的最大(小)值中的较大值即为合并后的数组的最大(小)值,直到划分区间内只剩一个元素或者两个元素为止
方法2代码如下:
class MaxMin: def __init__(self): self.max = None self.min = None def getMax(self): return self.max def getMin(self): return self.min def GetMaxandMin(self,arr): if arr == None: print('参数不合法') return i = 0 lens = len(arr) self.max = arr[0] self.min = arr[0] #两两分组,把较小的数放到左半部分,较大的数放到右半部分 while i < lens-1: if arr[i] > arr[i+1]: arr[i],arr[i+1] = arr[i+1],arr[i] i += 2 print(arr) #比较每组的左半部分,找最小值 self.min = arr[0] i = 2 while i < lens: if arr[i] < self.min: self.min = arr[i] i += 2 #比较每组的右半部分,找最大值 self.max = arr[1] i = 3 while i < lens: if arr[i] > self.max: self.max = arr[i] i += 2 #如果数组中元素个数是奇数个,最后一个元素被分为一组,需要特殊处理 if lens % 2 == 1: if self.max < arr[lens-1]: self.max = arr[lens-1] if self.min > arr[lens-1]: self.min = arr[lens-1] print(self.max) print(self.min)
方法3代码:
class MaxMin_recur: def __init__(self): self.max = None self.min = None def getMax(self): return self.max def getMin(self): return self.min def GetMaxandMin(self,arr,l,r): if arr == None: return mid = (l + r) // 2 list = [] #如果只有一个元素 if l == r: list.append(arr[l]) list.append(arr[l]) return list #如果有两个元素 if l + 1 == r: if arr[l] >= arr[r]: max_ = arr[l] min_ = arr[r] else: max_ = arr[r] min_ = arr[l] list.append(min_) list.append(max_) return list L_list = self.GetMaxandMin(arr,l,mid) R_list = self.GetMaxandMin(arr,mid+1,r) #总的最大值 max_ = L_list[1] if (L_list[1] > R_list[1]) else R_list[1] min_ = L_list[0] if (L_list[0] < R_list[0]) else R_list[0] list.append(min_) list.append(max_) return list if __name__ == '__main__': maxmin = MaxMin_recur() arr = [1,3,6,5,14] l = 0 r = len(arr) - 1 result = maxmin.GetMaxandMin(arr,l,r) print(result)
四、如何找出数组中出现奇数次的数
题目描述:1.数组中有N+2个数,其中,N个数出现了偶数次,2个数出现了奇数次(这2个数不相等)
2.数组中有N+3个数,其中,N个数出现了偶数次,3个数出现了奇数次(这3个数不相等)
3.数组中有一个数出现1次,其他数都出现2次,找出该数
4.数组中有一个数出现1次,其他数都出现3次,找出该数
5.数组中有一个数出现1次,其他数都出现N次,找出该数
6.数组中除了三个数出现1次,其他数都出现偶数次。找出这些数
说明:请用O(1)的空间复杂度,找出这两个数。注意:不需要知道具体位置,只需要找出这两个数
1. 2个数出现了奇数次
方法1:用dict记录,每个元素的次数,最后返回,出现次数为2的元素
方法2:用异或,首先对所有的元素异或,得到那两个奇数的异或,如果该结果不为0,就说明这两个出现一次的数至少有一位是不一样的,我们就可以将原先的数组该位为1或0的数分为两组,然后再对两组分别进行异或,就能分别得到两个数,这两个数就是出现一次的数
方法1代码:
class Solution: def getNum_1(self,arr): arr_dict = {} for num in arr: if num not in arr_dict:#出现一次 arr_dict[num] = 1 else:#出现两次 arr_dict[num] = 0 res = [k for k,v in arr_dict.items() if v == 1]#出现一次的元素value必定为1 return res
方法2代码:
class Solution: def getNum_3(self, arr): if not arr or len(arr) < 1: return result1 = 0 pos = 0 i = 0 while i < len(arr): result1 = result1^arr[i] i += 1 tmpResult = result1 print('tmpResult',tmpResult) i = result1 while i&1 == 0:#从二进制右往左,找到第一个1所在的位 print(i,1,i&1) pos += 1 i = i>>1 print('pos',pos) i = 1 while i<len(arr): if ((arr[i]>>pos)&1) == 1:#异或的结果与所有第position位为1的数异或,结果一定是出现一次的两个数中其中一个 result1 = result1^arr[i] i += 1 result2 = result1^tmpResult return result1,result2
2. 3个数出现了奇数次,求3个数中的一个
思路:先对所有数字进行异或,重复数异或得0,这样就能得到三个数异或的结果,因为三个数字只出现过一次,显然这三个数字不相同,因此,这三个数对应的二进制数也不可能完全相同。这样取某位为1的数,就能将三个数分为两组,一组包含三个数中的两个数,另外一组包含三个数中的一个数。统计两组元素的个数,如果一组数的个数为偶数,就说明有三个数中的两个数在这组内,再将这组元素进行异或,取某位为1分为两组,两组分别异或就能分别得到两个数;另一个数,将其组内元素异或就能得到第三个数。
代码如下:
#判断数字n的二进制数从右往左数第i位是否为1 ''' 思路:1<<i可以表示从右向左第i位为1,其余位为0的指示数 用n与有特定位的指示数与或,就能判断n的特定位是否为1,【长数和短数与或只比较到短数的长度】 ''' def isOne(n,i): # print(n,1<<i) return (n&(1<<i))!=0 # res = isOne(10,1) # print(res) from functools import reduce def findSingle(arr): all_yihuo = reduce(lambda x,y:x^y,arr) print('all_yihuo',all_yihuo) pos1 = 0 for wei in range(len(arr),-1,-1): if isOne(all_yihuo,wei) == True:#找从右向左异或为1的位 pos1 = wei break #按照pos1这个位为1,将原数组一分为2 arr1 = [] arr0 = [] for num in arr: if num&(1<<pos1) > 0: arr1.append(num) else: arr0.append(num) print(arr1) print(arr0) print('pos1',pos1) res = 0 if len(arr1) % 2 == 1: res = reduce(lambda x,y:x^y,arr1) else: res = reduce(lambda x,y:x^y,arr0) return res
3.数组中有一个数出现1次,其他数都出现2次,找出该数
思路:对数组中所有数异或,最后的值就是所求的值,因为出现两次的值,异或之后为0。
4.数组中有一个数出现1次,其他数都出现3次,找出该数
python自带count功能
代码如下:
# 示例 1: # 输入: [2,2,3,2] # 输出: 3 # 示例 2: # 输入: [0,1,0,1,0,1,99] # 输出: 99 def singleNumber(nums): for i in nums: if nums.count(i) == 1: return i nums = [0,1,0,1,0,1,99] res = singleNumber(nums) print(res)
5.数组中有一个数出现1次,其他数都出现N次,找出该数
思路同上
6.数组中除了三个数是出现1次,其余的数都出现偶数次,找出三个数中的任意一个
思路:对所有数字进行异或,重复数异或得0,这样就能得到三个数异或的结果,因为三个数字只出现过一次,显然这三个数字不相同,因此,这三个数对应的二进制数也不可能完全相同。
这样取某位为1的数,就能将三个数分为两组,一组包含三个数中的两个数,另外一组包含三个数中的一个数
统计两组元素的个数,如果一组数的个数为偶数,就说明有三个数中的两个数在这组内,再将这组元素进行异或,取某位为1分为两组,两组分别异或就能分别得到两个数;另一个数,将其组内元素异或就能得到第三个数
小tips:判断数字n的二进制数从右往左数第i位是否为1 ==>> (n&(1<<i))!=0
例子:n=9,二进制为1001,要判断n的第三位是否为1,就可以用1001&(1<<3)=0,表明n的第三位不是1
代码如下:
判断数字n的二进制数从右往左数第i位是否为1 ''' 思路:1<<i可以表示从右向左第i位为1,其余位为0的指示数 用n与有特定位的指示数与或,就能判断n的特定位是否为1,【长数和短数与或只比较到短数的长度】 ''' def isOne(n,i): # print(n,1<<i) return (n&(1<<i))!=0 # res = isOne(10,1) # print(res) from functools import reduce def findSingle(arr): all_yihuo = reduce(lambda x,y:x^y,arr) print('all_yihuo',all_yihuo) pos1 = 0 for wei in range(len(arr),-1,-1): if isOne(all_yihuo,wei) == True:#找从右向左异或为1的位 pos1 = wei break #按照pos1这个位为1,将原数组一分为2 arr1 = [] arr0 = [] for num in arr: if num&(1<<pos1) > 0: arr1.append(num) else: arr0.append(num) print(arr1) print(arr0) print('pos1',pos1) res = 0 if len(arr1) % 2 == 1: res = reduce(lambda x,y:x^y,arr1) else: res = reduce(lambda x,y:x^y,arr0) return res res = findSingle([1,2,4,5,6,4,2]) print(res)
五、找出数组中第k小的数
题目描述:给定一个整数数组,如何快速地求出该数组中第k小的数。假如数组为[4,0,1,0,2,3],那么第3小的元素是1
方法1:整体排序 (最高效的排序算法【快排】的平均时间复杂度是O(Nlog2N),因此,该方法的平均时间复杂度为O(Nlog1N))
方法2:部分排序法,选择排序,第一次遍历从数组中找出最小的数,第二次遍历从剩下的数中找出最小的数(在整个数组中是第二小的数),第k次遍历就可以从N-K+1个数中找出最小的数,时间复杂度是O(N*k);也可以用堆排序进行k趟排序找出第k小的值
方法3:类快速排序方法
[1]如果i-low==k-1,说明array[i]就是第k小的元素,那么直接返回array[i]
[2]如果i-low>k-1,说明第k小的元素肯定在array[low...i-1]中,那么只需要递归地在array[low...i-1]中找第k小的元素即可
[3]如果i-low<k-1,说明第k小的元素肯定在array[i+1...high]中,那么只需要递归地在arra[i+1...high]中找第k-(i-low)-1小的元素即可
方法1、3代码:
class Solution: def findSmallK_1(self,array,k): array = sorted(array) return array[k] def findSmallK_2(self,array,low,high,k): i = low j = high splitElem = array[i] '''把小于等于splitElem的数放到数组中splitElem的左边,大于splitElem的值放到右边''' while i < j: while i < j and array[j] >= splitElem:#从后往前找到第一个小于splitElem的数停止 j -= 1 if i < j: array[i] = array[j] i += 1 while i < j and array[i] <= splitElem:#从前往后找到第一个大于splitElem的数停止 i += 1 if i < j: array[j] = array[i] j -= 1 array[i] = splitElem subArrayIndex = i-low if subArrayIndex == k-1: return array[i] elif subArrayIndex > k-1: return self.findSmallK_2(array,low,i-1,k) else: return self.findSmallK_2(array,i+1,high,k-(i-low)-1) S = Solution() array=[4,0,5,0,2,3] low=0 high=len(array)-1 k=3 res = S.findSmallK_2(array,low,high,k) print(res)
六、找出数组中前k大的数(O(N))
题目描述:O(N)时间复杂度内查找数组中前三名
思路1:对整个数组进行排序,然后根据数组下标找出最大的三个数,但是这种方法最好的时间复杂度是O(Nlog2N)
思路2:采用类似求最大值的方法来求前三名,初始化前三名,然后遍历数组
[1]如果当前值tmp大于r1: r3=r2,r2=r1,r1=tmp;
[2]如果当前值tmp大于r2且不等于r1: r3=r2,r2=tmp
[3]如果当前值tmp大于r3且不等于r2: r3=tmp
def findTop3(arr): if not arr or len(arr) < 3: return r1 = r2 = r3 = -2**31 i = 0 while i <len(arr): if arr[i] > r1: r3 = r2 r2 = r1 r1 = arr[i] elif arr[i] > r2 and arr[i] != r1: r3 = r2 r2 = arr[i] elif arr[i] > r3 and arr[i] != r2: r3 = arr[i] i += 1 print(r1,r2,r3) arr = [4,5,1,2,3,4,7,8,12] findTop3(arr)