100个囚犯的脱狱有关问题

100个囚犯的脱狱问题

问题：

 

    话说有一国王找到100个囚犯，每个人都剃了光头。
    国王对他们说：一会儿有人会在你们头上写上1-100之间的随机数。你们只要有一个人能说对大家头上所有数字的和，就都放了。否则统统赠送给芙蓉姐姐做宠物。给你们一炷香的时间好好商量一下对策。
    这帮子囚犯都是学过基本算数的，加减乘除都没问题。
    一炷香之后，国王的巫师屏蔽了他们之间的交流（不要问我怎么做到的） - 结果每个囚犯都能看到别人头上写的啥，但没办法知道自己的数字。
    囚犯们采用什么策略才能保证一定会被释放呢？

 

解答：

 

    设100个囚犯头上数字的和为sum；第N个囚犯头上数字为 Pn ( 1 <= Pn <= 100 )，除第 N 个囚犯数字和为Tn，则 sum = Pn + Tn，则 Pn = sum - Tn 成立，即 Pn - 1 = sum - Tn - 1。因为 0 <= Pn - 1 <= 99，所以 ( Pn - 1 )%100 = Pn - 1 = sum%100 - Tn%100 - 1，也即 Pn = sum%100 - Tn%100。
    因为 0 <= sum%100 <= 99，sum%100是唯一的，令：
        第一个犯人：P1 = -( T1 % 100 ) + 0
        第二个犯人：P2 = -( T2 % 100 ) + 1
        ...
        第100个犯人：P100 = -( T100 % 100 ) + 99
    则 Pn 中必有一个是某囚犯自己头上的数字，每个人提交 Pn+Tn 即可获释。