root locus 徒手大致绘出根轨迹！一支笔，一张纸，足矣 自动控制原理

徒手绘制根轨迹

可以看出假设的系统传递函数如图中黄色公式部分

特征方程是(s^3+4*s^2+K*s+1) = 0；

绘制根轨迹的方法是

铺垫：

1） 先把所有和K有关的项合并成一大项K（s）, (相当于提公因式K)

2)  接着把得到的式子除以不含K的项(如图中蓝色字体部分)

于是可以得到，这是变形后的特征方程

这个方程就变形为1+K * G(s) = 0 的形式了，很重要的铺垫

接着有几条规则需要注意 rule 1 和rule 2

Rule 1 看分子和分母谁的阶次高，把阶次高者的阶次标记为n，那么根轨迹有n条曲线

Rule 2 当K 从0增大到无穷大的时候，根的轨迹从传递函数的极点移动到传递函数的零点

上面的分析其实很精彩，极点和零点的定义分别是

利用这个定义，那么可以与K的变化很好的对应起来

K = 0的时候，P(s) = 0,此时是极点

K趋向于无穷大，而表达式为0，Q（s）必为0，是零点

这就可以观察到，K越来越大的时候，是从极点趋向于零点的！

上图分别对应了极点数和零点数相等，极点数大于零点数，极点数小于零点数，三种情况的根轨迹大致分布图像

Rule 3 如果有的根是虚根，那么必定对策分布，不对称就错鸟。。。。

Rule 4 同一极点引出的根轨迹是不能重叠和自身发生交叉相遇的！(原谅我烂大街的翻译。。。)

简单的demo

三个极点一个零点：

1）3个极点比一个零点多，决定了系统的根轨迹有三条

2）有两条根轨迹将终止于无穷远处

3）图中ab极点根轨迹会对称分布

4）每个根轨迹不会交叉重叠

Rule 5 所有根轨迹上的点的右侧，极点和零点数目和为奇数

Rule 6 根轨迹会以和实轴夹角90度的方式离开实轴，直线延伸至无穷远处

Rule 7 如果这里没有足够的极点零点相互一一对应，对于多出的极点或者零点引出的根轨迹趋向于无穷远处

Rule 8 趋向于无穷远处根轨迹的渐近线(这里不是简简单单的一条规则能说清楚的，详细说明如下)

渐近线和实轴的夹角为theta = (   （2*q+1）/(n-m)    ) * 180 此处q = n-m - 1，n是极点数，m是零点数

渐近线与实轴相交点 =  （   (所有极点值的和)-(所有零点值的和) ） / (n - m)

如上图左下，只有一个极点的时候，theta = (   ( (2*(1-0-1)) +1 ) / (1-0) ) * 180 = 180

于是渐近线和实轴的夹角是 = 180°

右边两个极点的图，同理

当有三个极点的时候

n = 3 m = 0

q （max）= 3-0-1 = 2

于是q = 0 ，1， 2

对应的theta分别是60° 180°  -60°

分离点是（（-1-2-3）-0）/ （3-0） = 2

这样就可以画出根轨迹啦！

4个极点的同理。。。。

Rule 9 如果这里有两条根轨迹是趋向于无穷远处的，那么所有根的和是一个常数

就是说图中如果-3处的极点左移，-1左移，-2右移，得到的三个新极点的和还是同一个常数

当K从0增大到负无穷大的过程中，这个时候得到的图像是和0从正无穷大的过程得到的图像关于虚轴对称的

求解分离点就是解这个方程即可

下图是各种根轨迹的demo

之前有个问题，故意没有强调，放在后面，现在说

两个极点，有一个落到实轴正半轴上，导致根轨迹趋向于无穷的时候是落在正半轴这边的。系统不稳定

我用matlab 做了一个demo

怎么让系统变的稳定呢？

把趋向于无穷远的根轨迹落在正半轴部分的拉到负半轴去！

怎么拉？加零点！

这样系统就会趋于稳定了

beautiful ！