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Treap原理跟实现方法

分类: IT文章 • 2024-07-31 13:35:54
Treap原理和实现方法

Treap是一棵二叉搜索树，只是每个节点多了一个优先级fix，对于每个节点，该节点的优先级小于等于其所有孩子的优先级。

当然，引入优先级fix的目的就是防止BST退化成一条链，从而影响查找效率。

 

所以，这样看来就是：Treap中对于节点的关键字key来说，它是一棵二叉搜索树，而对于fix来说，它是一个最小堆，所以

Treap可以看成是Tree+Heap，只是这里的Heap不一定是完全二叉树。Treap的平均时间复杂度为log(n).

 

Treap跟笛卡尔树几乎是一模一样的，只是用途不同。

笛卡尔树是把已有的一些（key, fix）二元组拿来构造树，然后利用构树过程和构造好的树来解决LCA,RMQ等等问题。而

Treap的目的只是对一些key进行二叉搜索，但是为了保证树的平衡性，为每个key随机地额外增加了一个fix属性，这样从概

率上来讲可以让这棵树更加平衡。

 

对于Treap来说，主要有几大操作：插入，删除，查找，旋转，找第K大元素，找关键字x的排名，计算Treap的高度，删除

Treap，其它的操作比如合并，分离，反转等等以后再说，另外，对于Treap来说，它的中序遍历的结果就是按照关键字从小到

大的顺序排列的。

 

 

下面用一个题来看看Treap的各种操作。

题目：http://poj.org/problem?id=1442

 

题意：给一个序列，然后给出m个查询，每次查询输入一个数x，对于第i次查询，输出前x个数中第i大的关键字的值。

 

分析：我们可以用其它数据结构解决，这里我们先学用Treap怎么做吧，方法就是：每次我们都插入前x个数中没有插过的，当

然程序中我们用index来划分界限，然后输出Kth(root,i)即可。

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;

struct Treap
{
    int size;
    int key,fix;
    Treap *ch[2];
    Treap(int key)
    {
        size=1;
        fix=rand();
        this->key=key;
        ch[0]=ch[1]=NULL;
    }
    int compare(int x) const
    {
        if(x==key) return -1;
        return x<key? 0:1;
    }
    void Maintain()
    {
        size=1;
        if(ch[0]!=NULL) size+=ch[0]->size;
        if(ch[1]!=NULL) size+=ch[1]->size;
    }
};

void Rotate(Treap* &t,int d)
{
    Treap *k=t->ch[d^1];
    t->ch[d^1]=k->ch[d];
    k->ch[d]=t;
    t->Maintain();  //必须先维护t，再维护k，因为此时t是k的子节点
    k->Maintain();
    t=k;
}

void Insert(Treap* &t,int x)
{
    if(t==NULL) t=new Treap(x);
    else
    {
        //int d=t->compare(x);   //如果值相等的元素只插入一个
        int d=x < t->key ? 0:1;  //如果值相等的元素都插入
        Insert(t->ch[d],x);
        if(t->ch[d]->fix > t->fix)
            Rotate(t,d^1);
    }
    t->Maintain();
}

//一般来说，在调用删除函数之前要先用Find()函数判断该元素是否存在
void Delete(Treap* &t,int x)
{
    int d=t->compare(x);
    if(d==-1)
    {
        Treap *tmp=t;
        if(t->ch[0]==NULL)
        {
            t=t->ch[1];
            delete tmp;
            tmp=NULL;
        }
        else if(t->ch[1]==NULL)
        {
            t=t->ch[0];
            delete tmp;
            tmp=NULL;
        }
        else
        {
            int k=t->ch[0]->fix > t->ch[1]->fix ? 1:0;
            Rotate(t,k);
            Delete(t->ch[k],x);
        }
    }
    else Delete(t->ch[d],x);
    if(t!=NULL) t->Maintain();
}

bool Find(Treap *t,int x)
{
    while(t!=NULL)
    {
        int d=t->compare(x);
        if(d==-1) return true;
        t=t->ch[d];
    }
    return false;
}

int Kth(Treap *t,int k)
{
    if(t==NULL||k<=0||k>t->size)
        return -1;
    if(t->ch[0]==NULL&&k==1)
        return t->key;
    if(t->ch[0]==NULL)
        return Kth(t->ch[1],k-1);
    if(t->ch[0]->size>=k)
        return Kth(t->ch[0],k);
    if(t->ch[0]->size+1==k)
        return t->key;
    return Kth(t->ch[1],k-1-t->ch[0]->size);
}

int Rank(Treap *t,int x)
{
    int r;
    if(t->ch[0]==NULL) r=0;
    else  r=t->ch[0]->size;
    if(x==t->key) return r+1;
    if(x<t->key)
        return Rank(t->ch[0],x);
    return r+1+Rank(t->ch[1],x);
}

void DeleteTreap(Treap* &t)
{
    if(t==NULL) return;
    if(t->ch[0]!=NULL) DeleteTreap(t->ch[0]);
    if(t->ch[1]!=NULL) DeleteTreap(t->ch[1]);
    delete t;
    t=NULL;
}

void Print(Treap *t)
{
    if(t==NULL) return;
    Print(t->ch[0]);
    cout<<t->key<<endl;
    Print(t->ch[1]);
}

int val[1000005];

int main()
{
    int n,x,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        for(int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%d",&val[i]);
        int index=1;
        Treap *root=NULL;
        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            for(int j=index; j<=x; j++)
                Insert(root,val[j]);
            index=x+1;
            printf("%d\n",Kth(root,i));
        }
        DeleteTreap(root);
    }
    return 0;
}


 

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