HDU
题目大意
电子科大本部食堂的饭卡有一种很诡异的设计,即在购买之前判断余额。如果购买一个商品之前,卡上的剩余金额大于或等于5元,就一定可以购买成功(即使购买后卡上余额为负),否则无法购买(即使金额足够)。所以大家都希望尽量使卡上的余额最少。
某天,食堂中有 (n) 种菜出售,每种菜可购买一次。已知每种菜的价格以及卡上的余额,问最少可使卡上的余额为多少。
样例
样例输入 1
10
1 2 3 2 1 1 2 3 2 1
50
样例输出 1
32
样例 1 说明
有 10 种菜,结果自己算吧
样例输入2
1
50
5
样例输出2
-45
样例 2 说明
只有一种菜,价格为 (50),卡上余额 (5) 元,此时买这个菜,剩余 (-45)。
分析
- 按照惯例,特殊处理一部分数据:
- 当初始余额 (money) 小于 (5) 的时候,什么都不能买,直接输出即可
- 当所有菜价总和 (sum+5) 不大于初始余额时,表示所有菜都能买,直接输出 (money-sum)
- 对于一般情况来说,假设手里只有 (5) 块,买价格最高的菜才是最优解
- 如果余额大于 (5) 块,我们可以把最贵的菜放到最后买,用前面的 (n-1) 个菜去凑不大于 (money-5) 的最大值,用剩下的钱买最贵的菜即可。为什么这样时对的呢?
- 如果拿出最贵的菜之后,剩下的菜可以恰好凑成 (money-5),显然时最优的
- 如果拿出最贵的之后,剩下的不能凑成恰好等于 (money-5),这样做还是最优的吗?当然是的,证明如下:
- 假设不是最优的,那么会有一种方案将最后一个菜加入到 (money-5) 的组合中,设组合为 ({p_1, p_2, ..., p_n}),它们的和为 (m(m le money-5)),而选择最后买的菜价格为 (p_k),且 (p_n > p_k),此时最终的余额为 (t = money - m - p_k)
- 那么我们可以转换一下,既然选择的组合可以加入 (p_n),那么小于 (p_n) 的菜来替换 (p_n) 的时候,都能保证 (m <= money-5)
- 我们将 (p_n) 与 (p_k) 对换一下,则选菜的组合的总和变成了 (m' = m - (p_n-p_k)),最终余额为 (t' = money-m'-p_n=money-m+(p_n-p_k)-p_k=t)
- 也就是说两种的答案是一样的,换句话说,我们把最贵的留在最后买,最终的余额不会大于其他的方案
代码
代码就不写了,没有什么可写的