回溯算法-01背包有关问题

回溯算法---01背包问题

背包问题：

给定n种物品（每种物品仅有一件）和一个背包。物品i的重量是w_i ，其价值为p_i ，背包的容量为w。问应如何选择物品装入背包，使得装入背包中的物品的总价值最大？

l 如果在装入背包时，物品可以切割，即可以只装入一部分，这种情况下的问题称为背包问题。

l 在装入背包时，每种物品i只有两种选择，装入或者不装入，既不能装入多次，也不能只装入一部分。因此，此问题称为0-1背包问题。

要想得到最优解，就要在效益增长和背包容量消耗两者之间寻找平衡。也就是说，总应该把那些单位效益最高的物体先放入背包。

背包问题可看做是一种回溯：

每个包是一个节点，节点共有2个候选值0、1 。 0代表不放人背包中， 1代表放入背包中。

回溯算法-01背包有关问题

因此，背包问题就转换为找到满足条件的路径问题。

因此，可用回溯方法解决。

回溯方法解决背包问题：

方法一：

// 判断节点（I,j）是否为解路径上的节点,其中：

// i表示解路径上的第i个测试节点、j表示该节点的某个候选值

// A[i] 保存第i个节点选用的值

BOOL TestNode(I ,j)

{

更新相关参数值（假定选择了此候选值j，因此更新受影响的参数值）；

与0—(i-1) 层进行判断，看是否与以遍历的节点有冲突

若有冲突，则返回FALSE；

若无冲突，则将节点i的值j,保存到对应的数组中A[I]=J;

判断I是否为最后一层,

若是最后一层，则成功找到一条解路径，返回TRUE；

若不是最后一层，则判断第i+1层是否有正确的节点。

BOOL bFlag=FALSE;

FOR(k=0;k< CANDIDATA_NUM;k++) //候选值【0，。。。，CANDIDATA_NUM -1】

{

If(TestNode(i+1,k))

{

找到一个解；

bFlag=True;

}

//不管TestNode(i+1,k)是成功的还是失败的，退出后，都要对参数进行还原

还原相关参数值（撤销了候选值k，因此要还原受影响的参数值）；

}

RETURN bFlag;

}

int m,n=5,x[10]={0};
int w[6]={0,2,2,6,5,5},v[6]={0,6,3,5,4,6};
int c=10;
int cw=0,cv=0,bestv=0;

BOOL TestNode(int i,int j){  // 第 i个物品的 候选值为0和1


	//更新相关参数值
	cw+=w[i]*j;
	cv+=v[i]*j;

	//与之前的物品相比  有无冲突
	if (cw>c)
		return FALSE;

    //无冲突，添加至解路径
	x[i]=j;

	// 到此为止  0--i行 均无冲突
	// 如果是最后一行  成功找到一个解
	if(i==n){

		for(i=1;i<=n;i++)
			printf("%d",x[i]);
		if(cv>bestv)
			bestv=cv;
		printf("\n");
		return TRUE;

	}

	//如果不是最后一行 则判断i+1行

	BOOL bSuit=FALSE;
	for (int k=0;k<=1;k++)
	{		
		//第i+1行存在合适位置 
		if (TestNode(i+1,k))
			bSuit=TRUE;	

		//还原相关参数
		cw-=w[i+1]*k;
		cv-=v[i+1]*k;
	}

   return bSuit;

}



void  Bag()
{

	for (int i=0;i<=1;i++)
	{
		TestNode(1,i);
	}



}

或不更新与还原相关变量，而是根据已知信息推导相关变量值

int m,n=5,x[10]={0};
int w[6]={0,2,2,6,5,5},v[6]={0,6,3,5,4,6};
int c=10;
int cw=0,cv=0,bestv=0;

BOOL TestNode(int i,int j){  // 第 i个物品的 候选值为0和1



   //根据已知 推倒相关参数值
	cw=0;
	cv=0;
	for (int k=1;k<=i-1;k++)
	{
		cw+=x[k]*w[k];
		cv+=x[k]*v[k];
	}

	cw+=w[i]*j;
	cv+=v[i]*j;



	//与之前的物品相比  有无冲突
	if (cw>c)
		return FALSE;

    //无冲突，添加至解路径
	x[i]=j;

	// 到此为止  0--i行 均无冲突
	// 如果是最后一行  成功找到一个解
	if(i==n){

		for(i=1;i<=n;i++)
			printf("%d",x[i]);
		if(cv>bestv)
			bestv=cv;
		printf("\n");
		return TRUE;

	}

	//如果不是最后一行 则判断i+1行

	BOOL bSuit=FALSE;
	for (int k=0;k<=1;k++)
	{		
		//第i+1行存在合适位置 
		if (TestNode(i+1,k))
			bSuit=TRUE;	
	}

   return bSuit;

}



void  Bag()
{

	for (int i=0;i<=1;i++)
	{
		TestNode(1,i);
	}



}

方法二：

根据背包问题的特殊性，可简化算法

int m,n=5,x[10]={0};
int w[6]={0,2,2,6,5,5},v[6]={0,6,3,5,4,6};
int c=10;
int cw=0,cv=0,bestv=0;

int ok(int k)
{
	int u=1;
	if(cw>c)
		u=0;
	return u;
}


int f(int k)
{
	int i;
	if (k>n)
	{
		for(i=1;i<=n;i++)
			printf("%d",x[i]);
		if(cv>bestv)
			bestv=cv;
		printf("\n");
	}
	else
	{
		x[k]=1;    //判断候选值1
		cw+=w[k];
		cv+=v[k];
		if(ok(k))
			f(k+1);
		cw-=w[k];  //判断候选值0
		cv-=v[k];
		x[k]=0;  
		if(ok(k))
			f(k+1);
	}

	return k;
}

回溯算法-01背包有关问题

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