基础导数关键性质简记
定义常量 (e) 有
[e=lim_{n o +infty} (1+frac1n)^n
]
这个定义在如下导函数性质证明中发挥巨大威力：
[f(x)=log_ax,f'(x)=frac{1}{xln a}
]
[f(x)=a^x ,f'(x)=x^aln a
]
具体推导均可以使用定义式进行，即
[f'(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}
]
中间都会遇到
[lim_{Delta x o 0}log_a(1+frac{Delta x}x )^frac{x}{Delta x}
]
而该式就是 (e) 的定义式
范式推导：
[f(x)=ln(x),f'(x)=frac 1x
]
证明：先带入导数定义式观察
[f'(x)=lim_{Delta x o 0} frac{ln(x+Delta x)-ln(x)}{Delta x}
]
[=lim_{Delta x o 0} frac 1{Delta x}ln (1+frac{Delta x}x)
]
[=lim_{Delta x o 0} ln [(1+frac{Delta x}x)^{frac x{Delta x}}]^{frac1{x}}
]
[=frac 1xlim_{Delta x o 0} ln e=frac 1x
]
下有导函数的另一个性质：
[lim_{Delta x o 0}f(x+Delta x)=f(x)+f'(x) imes Delta x
]
也就是说 (f(x)) 在 (x_0) 处的导数是其在 (x_0) 处的斜率
这条性质在证明
[[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)
]
[[frac{f(x)}{g(x)}]'=frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}
]
[[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
]
时会发挥巨大作用，而具体的和式变换是相对平凡的