HDU 3473 Minimum Sum （划分树）

题意：给定一个数组，有Q次的询问，每次询问的格式为(l,r)，表示求区间中一个数x，使得sum = sigma|x - xi|最小（i在[l,r]之间），输出最小的sum。

思路：本题一定是要O（nlogn）或更低复杂度的算法。首先很容易得出这个x的值一定是区间（l，r）的中位数的取值，排序之后，也就是假设区间(l,r)长度为len ，则中位数就是该区间的第（r - l） / 2 - 1小的元素，求一个区间的第K小元素的算法很自然地会想到划分树，而且划分树的查询复杂度为：O(logn)，正好可以解决此题。

算法确定了之后就是具体的实现过程了，普通的划分树求的是区间内的第k小的元素，而这题是要求差值，也就是说我们不但要求出区间的第k小的元素，还要求出所有比中位数小的数 lsum，当然比中位数大的数的和可以根据区间的数的总和和lsum求得，因此不需要额外求。这样我们只需要在划分树建树的时候增加一个lsum[ ][i] 数组就可以了，这个数组保存的是，在step层，在i前面被划分到左子树的元素之和。这样我们就可以求出最后的解了。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include<functional>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <climits>//形如INT_MAX一类的
#define MAX 100005
#define INF 0x7FFFFFFF
#define L(x) x << 1
#define R(x) x << 1 | 1
using namespace std;

struct Seg_Tree {
    int l,r,mid;
} tr[MAX*4];
int sorted[MAX];
int lef[20][MAX];
int val[20][MAX];
__int64 lsum[20][MAX];
__int64 sum[MAX];
__int64 summ;

void build(int l,int r,int step,int x) {
    tr[x].l = l;
    tr[x].r = r;
    tr[x].mid = (l + r) >> 1;
    if(tr[x].l == tr[x].r) return ;
    int mid = tr[x].mid;
    int lsame = mid - l + 1;//lsame表示和val_mid相等且分到左边的
    for(int i = l ; i <= r ; i ++) {
        if(val[step][i] < sorted[mid]) {
            lsame --;//先假设左边的数(mid - l + 1)个都等于val_mid,然后把实际上小于val_mid的减去
        }
    }
    int lpos = l;
    int rpos = mid + 1;
    int same = 0;
    for(int i = l ; i <= r ; i ++) {
        if(i == l) {
            lef[step][i] = 0;//lef[i]表示[ tr[x].l , i ]区域里有多少个数分到左边
            lsum[step][i] = 0;
        } else {
            lef[step][i] = lef[step][i-1];
            lsum[step][i] = lsum[step][i-1];
        }
        if(val[step][i] < sorted[mid]) {
            lef[step][i] ++;
            lsum[step][i] += val[step][i];
            val[step + 1][lpos++] = val[step][i];
        } else if(val[step][i] > sorted[mid]) {
            val[step+1][rpos++] = val[step][i];
        } else {
            if(same < lsame) {//有lsame的数是分到左边的
                same ++;
                lef[step][i] ++;
                lsum[step][i] += val[step][i];
                val[step+1][lpos++] = val[step][i];
            } else {
                val[step+1][rpos++] = val[step][i];
            }
        }
    }
    build(l,mid,step+1,L(x));
    build(mid+1,r,step+1,R(x));
}

int query(int l,int r,int k,int step,int x) {
    if(l == r) {
        return val[step][l];
    }
    int s;//s表示[l , r]有多少个分到左边
    int ss;//ss表示 [tr[x].l , l-1 ]有多少个分到左边
    __int64 tmp = 0;
    if(l == tr[x].l) {
        tmp = lsum[step][r];
        s = lef[step][r];
        ss = 0;
    } else {
        tmp = lsum[step][r] - lsum[step][l-1];
        s = lef[step][r] - lef[step][l-1];
        ss = lef[step][l-1];
    }
    if(s >= k) {//有多于k个分到左边,显然去左儿子区间找第k个
        int newl = tr[x].l + ss;
        int newr = tr[x].l + ss + s - 1;//计算出新的映射区间
        return query(newl,newr,k,step+1,L(x));
    } else {
        summ += tmp;
        int mid = tr[x].mid;
        int bb = l - tr[x].l - ss;//bb表示 [tr[x].l , l-1 ]有多少个分到右边
        int b = r - l + 1 - s;//b表示 [l , r]有多少个分到右边
        int newl = mid + bb + 1;
        int newr = mid + bb + b;
        return query(newl,newr,k-s,step+1,R(x));
    }
}

void solve(int l,int r) {
    l ++; r ++;
    summ = 0;
    int k = (r - l) / 2 + 1;
    __int64 mid = query(l,r,k,0,1);
    __int64 ans = (k - 1) * mid - summ;
    ans += sum[r] - sum[l-1] - summ - (r - l - k + 2) * mid;
    printf("%I64d
",ans);
}

int n,m,l,r;
int main() {
    int T;
    cin >> T;
    int ca = 1;
    while(T--) {
        scanf("%d",&n);
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            scanf("%d",&val[0][i]);
            sorted[i] = val[0][i];
            sum[i] = sum[i-1] + val[0][i];
        }
        sort(sorted+1,sorted+1+n);
        build(1,n,0,1);
        scanf("%d",&m);
        printf("Case #%d:
",ca++);
        for(int i=0; i<m; i++) {
            scanf("%d%d",&l,&r);
            solve(l,r);
        }
        puts("");
    }
}

HDU 3473 Minimum Sum （划分树）

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