二叉树（1）——二叉树的基本实现（数组实现和链表实现）

二叉树（一）——二叉树的基本实现（数组实现和链表实现）
1.树是一种数据结构，树的一些相关的术语：
结点的度：一个结点的后继结点的个数。
树的度：树中度值最大的结点的度被称为树的度。
树的深度：树的层次数。
分支结点：度值大于0的结点，分支结点至少含有一个后继，分支结点也称为非终端结点。
叶子结点：树中的度值为0的结点。
双亲结点：树中某个结点的前驱结点，也成为父节点。
子女结点：树中某结点的后继结点。
兄弟结点：树中同一层的结点。
2.二叉树
（1）二叉树是一种特殊的树，树的度值最大为2.
（2）二叉树的表示：
           A
         /      \
       B        C
      /     \     /   \
     D   E   F   G
二元表示：
Binary-tree = (D, S)

D={A, B, C, D, E, F, G}

S={<A,B>, <A,C>, <B,D>, <B,E>, <C,F>, <C,G>}

3.二叉树的特点
（1）任何一棵二叉树的叶子结点总比双分支结点个数多一个。
分别设叶子结点，单分子结点，双分子结点的个数为：n0, n1, n2，则有：
n0+n1+n2 = 2n2+n1+1 ==>  n0 = n2+1
2n2+n1+1：n2结点每个节点有两个叶子节点，n1结点每个结点有一个叶子结点，+1的原因是根结点不属于任何一个结点的子节点，所以根结点需要单独加上。
（2）二叉树的第i层最多有2^(i-1)个元素。
（3）一棵h层的二叉树最多有2^h - 1个元素。
4.满二叉树：h层的二叉树共有2^h - 1个元素。
完全二叉树：h层的二叉树若前h-1层是满的，最后一层是连续缺失右边的若干个结点。
对于完全二叉树存在：
（1）若结点编号为i的结点存在左子女，左子女编号为2i，若存在右子女，则右子女的结点编号为2i+1。
（2）编号为i的结点若存在双亲结点，则双亲结点的编号为i/2向下取整。
5.理想平衡二叉树：一棵h层的二叉树前h-1层是满的，最后一层的叶子结点可任意摆放。
二叉树存储的实现：
（1）顺序存储：将二叉树存储在内存中一块连续的存储单元中，数组的元素个数取决于二叉树的层数。
（2）将二叉树的每个结点的编号作为该结点在数组中的存储下标。
（3）将根节点存放在下标为1的单元里。
（4）若下标为i的单元存在左子女，则左子女的下标为2i，若存在右子女，右子女的下标为2i+1。
6.中根查找顺序
对于一个给定的二叉树，如果要对其进行遍历可以有前序遍历、中序遍历、后序遍历基本的三种遍历方式，这三种遍历方式都是相对于根而言的。比如中序遍历，就是先访问左子树，再访问根，最后访问右子树，意思就是根的访问顺序在中间。
对于一棵给定的二叉树：

中序遍历的顺序为：10, 42, 45, 55, 58, 63, 67, 70, 83, 90, 98。
从这个遍历顺序可以看出正好是一个从小到大的排过序的顺序，这是在构建二叉树的时候就可以做到的，在构建二叉树的时候，选择好根节点，比根节点小的数放到根节点的左子树，比根节点大的数放到根节点的右子树即可。
例如给出一个序列：63, 42, 45, 67, 70。
访问到63，将其作为根节点，访问到42<63则作为63的左子树，访问到45<63放到63的左子树上，而45>42所以放到42的右子树上，访问到67>63，则将67作为63的右子树，访问到70>63应该放在63的右子树上，而进一步有70>67，则70应该作为67的右子树，所以可以得到下面的二叉树：
                        63
                      /    \
                    42      67
                      \       \
                       45      70
7.二叉树的链式存储
结点类型：left域、data域、right域
left域：用来存放左子女的地址，若不存在左子女，left域为空。
data域：用来存放该结点的数据。
right域：用来存放右子女的地址，若不存在右子女，right域为空。
8.二叉搜索树

若树中左子女的值都小于根节点的值，右子女的值都大于根节点的值，这样的二叉树叫做二叉搜索树。

9.二叉树的数组实现方式

分析：首先给定一个二叉树之后，就可以知道该二叉树的层次数h，然后创建一个2^h = 2^h - 1 + 1个元素的数组，加1的目的是因为数组的0下标是不用的，根节点存放在下标为1的单元中。所有数组中没有用到的单元，均赋值为二叉树中数值域不包含的值，这样在遍历的时候就可以将这个值作为判断的依据。

#include <stdio.h>

void create_btree(int list[], int bt[], int n) /*n表示list数组中元素的个数*/
{
	int i, order;

	bt[1] = list[0];
	for(i = 1; i < n; i++)
	{
		order = 1; /*每次进来从根结点开始比较*/
		while(bt[order] != 0)
		{
			if(list[i] < bt[order])
				order *= 2;
			else
				order = order*2 + 1;
		}
		bt[order] = list[i];
	}
}

int main()
{
	int list[7] = {30, 18, 16, 25, 34, 7, 31};
	int bt[16] = {0};
	int i;

	create_btree(list, bt, 7);
	for(i = 0; i < 16; i++) /*按层输出*/
		if(bt[i] != 0)
			printf("%4d", bt[i]);
	printf("\n");

	return 0;
}

程序的输出结果：

二叉树的链表实现：

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>

#define NULL	0

typedef struct tree
{
	int data;
	struct tree *left, *right;
}ElemBT;

void create_btree(ElemBT *root, int list[], int n) /*n表示list数组中元素的个数*/
{
	int i;
	ElemBT *current, *parent, *p;

	for(i = 1; i < n; i++)
	{
		p = (ElemBT *)malloc(sizeof(ElemBT));
		p->left = p->right = NULL;
		p->data = list[i];
		current = root;
		while(current != NULL)
		{
			parent = current;
			if(current->data > p->data)
				current = current->left;
			else
				current = current->right;
		}
		if(parent->data > p->data)
                        parent->left = p;
                else
                        parent->right = p;
         }
}

int main()
{
	int list[7] = {30, 18, 16, 25, 34, 7, 31};
	ElemBT *root;

	root = (ElemBT *)malloc(sizeof(ElemBT));
	root->data = list[0];
	root->left = root->right = NULL;
	create_btree(root, list, 7);

	return 0;
}