最小生成树Prim算法跟单源最短路径Dijkstra算法
问题:
1. (最小生成树)给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,即求最小生成树。
2. (单源最短路径)给定一个权值都为正数的无向连通图和一个源点,确定它到其它点的最短距离。
之所以将这两个问题放在一起,是因为Prim算法与Dijkstra算法的思路和程序都非常相似,都是有贪心策略。
1.解法(Prim算法):
思路:设连通网络 N = { V, E },U表示已加入到生成树的顶点集合。在初始化阶段,任取一个顶点,用其关联边的权值作为初始的V-U顶点集合的数据。在每一步中,先在V-U顶点集合中选择距离U中任意点“最近”的顶点v,再把v加入到U中,最后看看在新的V-U顶点集合中,是否有哪个顶点距离v比距离U中其它点更近,若有则更新V-U顶点集合中的数据。U的元素个数为V-1,所以共要进行V-1步。
总的时间复杂度为Time = O(V)*T_EXTRACT-MIN+O(E)*T_DECREASE-KEY
若用数组作为顶点权值的数据结构,T_EXTRACT-MIN用时O(V),T_DECREASE-KEY用时O(1),总共用时O(V^2)
若用最小堆作为顶点权值的数据结构,T_EXTRACT-MIN用时O(lgV),T_DECREASE-KEY用时O(lgV),总共用时O((V+E)*lgV)
若用斐波那契堆作为顶点权值的数据结构,T_EXTRACT-MIN平均用时O(lgV),T_DECREASE-KEY平均用时O(1),总共用时O(E+V*lgV)
下面的代码使用数组作为顶点权值的数据结构:
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define MAXN 1001 #define INF 1000000 int lowcost[MAXN]; // 距离U中顶点的最小权值 bool visited[MAXN]; // 若为true表示已加入到集合U中 int mst[MAXN]; // 距离U中哪个顶点最短 int graph[MAXN][MAXN]; // 用矩阵表示图上各边权值 void Prim(int n) { int i, j; memset(visited, 0, n*sizeof(bool)); visited[0] = true; mst[0] = -1; for (i=1; i<n; i++) { lowcost[i] = graph[0][i]; mst[i] = 0; } for (i=1; i<=n-1; i++) { // 取V-U中的最小权值T_EXTRACT-MIN O(V) int min=INF, minid; for (j=1; j<n; j++) // 用visited数组确定V-U if (!visited[j] && lowcost[j] < min) { min = lowcost[j]; minid = j; } visited[minid] = true; // 减小V-U中的权值T_DECREASE-KEY O(1) for (j=1; j<n; j++) if (!visited[j] && lowcost[j] > graph[minid][j]) { lowcost[j] = graph[minid][j]; mst[j] = minid; } } } int main() { int n, m, i, j; cin >> n >> m; for (i=0; i<n; i++) for (j=0; j<n; j++) graph[i][j] = INF; for (i=0; i<m; i++) { char a[3], b[3]; int c; scanf("%s %s %d",&a, &b, &c); graph[a[0]-'A'][b[0]-'A'] = c; graph[b[0]-'A'][a[0]-'A'] = c; } Prim(n); int total = 0; for (i=1; i<n; i++) { total += lowcost[i]; printf("%c-%c: %d\n", i+'A', mst[i]+'A', lowcost[i]); } printf("%d\n", total); }
2.解法(Dijkstra算法):
思路:设连通网络 N = { V, E }和给定源点u,U表示已确定最短路径的顶点集合。在初始化阶段,用顶点u所关联边的权值作为初始的V-U顶点集合的数据。在每一步中,先在V-U顶点集合中选择距离源点u“最近”的顶点v,再把v加入到U中,最后看看在新的V-U顶点集合中,是否有哪个顶点通过顶点v到达源点u比通过U中其它点到达距离更短,若有则更新V-U顶点集合中的数据。U的元素个数为V-1,所以共要进行V-1步。
总的时间复杂度为Time = O(V)*T_EXTRACT-MIN+O(E)*T_DECREASE-KEY
若用数组作为顶点权值的数据结构,T_EXTRACT-MIN用时O(V),T_DECREASE-KEY用时O(1),总共用时O(V^2)
若用最小堆作为顶点权值的数据结构,T_EXTRACT-MIN用时O(lgV),T_DECREASE-KEY用时O(lgV),总共用时O((V+E)*lgV)
若用斐波那契堆作为顶点权值的数据结构,T_EXTRACT-MIN平均用时O(lgV),T_DECREASE-KEY平均用时O(1),总共用时O(E+V*lgV)
下面的代码使用数组作为顶点权值的数据结构:
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define MAXN 1001 #define INF 1000000 int lowcost[MAXN]; // 距离源点u的最短距离 bool visited[MAXN]; // 若为true表示已加入到集合U中 int minroad[MAXN]; // 在最短路径上顶点所连接的前一个顶点 int graph[MAXN][MAXN]; // 用矩阵表示图上各边权值 void Dijkstra(int n) { int i, j; memset(visited, 0, n*sizeof(bool)); visited[0] = true; minroad[0] = -1; for (i=1; i<n; i++) { lowcost[i] = graph[0][i]; minroad[i] = 0; } for (i=1; i<=n-1; i++) { // 取V-U中的最小权值T_EXTRACT-MIN O(V) int min=INF, minid; for (j=1; j<n; j++) // 用visited数组确定V-U if (!visited[j] && lowcost[j] < min) { min = lowcost[j]; minid = j; } visited[minid] = true; // 减小V-U中的权值T_DECREASE-KEY O(1) for (j=1; j<n; j++) if (!visited[j] && lowcost[j] > lowcost[minid]+graph[minid][j]) { lowcost[j] = lowcost[minid]+graph[minid][j]; minroad[j] = minid; } } } int main() { int n, m, i, j; cin >> n >> m; for (i=0; i<n; i++) for (j=0; j<n; j++) graph[i][j] = INF; for (i=0; i<m; i++) { char a[3], b[3]; int c; scanf("%s %s %d",&a, &b, &c); graph[a[0]-'A'][b[0]-'A'] = c; graph[b[0]-'A'][a[0]-'A'] = c; } Dijkstra(n); int total = 0; for (i=1; i<n; i++) { total += lowcost[i]; printf("%c-%c: %d\n", i+'A', minroad[i]+'A', lowcost[i]); } printf("%d\n", total); }
大家有没有觉得两个问题很像啊?哈哈~~