二分图婚配总结
二分图匹配总结
1.一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数
König定理是一个二分图中很重要的定理，它的意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖，我也在这里说一下：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。
2。最小路径覆盖=最小路径覆盖＝｜G｜－最大匹配数
在一个N*N的有向图中，路径覆盖就是在图中找一些路经，使之覆盖了图中的所有顶点，
且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联；（如果把这些路径中的每条路径从它的起始点走到它的终点，
那么恰好可以经过图中的每个顶点一次且仅一次）；如果不考虑图中存在回路，那么每每条路径就是一个弱连通子集．
由上面可以得出：
1.一个单独的顶点是一条路径；
2.如果存在一路径p1,p2,......pk，其中p1 为起点，pk为终点，那么在覆盖图中，顶点p1,p2,......pk不再与其它的
顶点之间存在有向边．
最小路径覆盖就是找出最小的路径条数，使之成为G的一个路径覆盖．
路径覆盖与二分图匹配的关系：最小路径覆盖＝｜G｜－最大匹配数；
3。二分图最大独立集=顶点数-二分图最大匹配
独立集：图中任意两个顶点都不相连的顶点集合。
模版：
1.匈牙利算法：
const int MAXN = 510;
int n, m;
int G[MAXN][MAXN];
int match[MAXN];
int vis[MAXN];
int path(int u)
{
for(int v=1;v<=m;v++)
{
if(G[u][v] && !vis[v])
{
vis[v] = 1;
if(match[v] == -1 || path(match[v]))
{
match[v] = u;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int MaxMatch()
{
int res = 0;
memset(match, -1, sizeof(match));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
memset(vis, 0, sizeof(vis));
res += path(i);
}
return res;
}
2.Hopcroft-Carp算法
/* *********************************************
二分图匹配（Hopcroft-Carp的算法）。
初始化：g[][]邻接矩阵
调用：res=MaxMatch(); Nx,Ny要初始化！！！
时间复杂大为 O(V^0.5 E)
适用于数据较大的二分匹配
需要ｑｕｅｕｅ头文件
********************************************** */
const int MAXN=3000;
const int INF=1<<28;
int g[MAXN][MAXN],Mx[MAXN],My[MAXN],Nx,Ny;
int dx[MAXN],dy[MAXN],dis;
bool vst[MAXN];
bool searchP()
{
queue<int>Q;
dis=INF;
memset(dx,-1,sizeof(dx));
memset(dy,-1,sizeof(dy));
for(int i=0;i<Nx;i++)
if(Mx[i]==-1)
{
Q.push(i);
dx[i]=0;
}
while(!Q.empty())
{
int u=Q.front();
Q.pop();
if(dx[u]>dis) break;
for(int v=0;v<Ny;v++)
if(g[u][v]&&dy[v]==-1)
{
dy[v]=dx[u]+1;
if(My[v]==-1) dis=dy[v];
else
{
dx[My[v]]=dy[v]+1;
Q.push(My[v]);
}
}
}
return dis!=INF;
}
bool DFS(int u)
{
for(int v=0;v<Ny;v++)
if(!vst[v]&&g[u][v]&&dy[v]==dx[u]+1)
{
vst[v]=1;
if(My[v]!=-1&&dy[v]==dis) continue;
if(My[v]==-1||DFS(My[v]))
{
My[v]=u;
Mx[u]=v;
return 1;
}
}
return 0;
}
int MaxMatch()
{
int res=0;
memset(Mx,-1,sizeof(Mx));
memset(My,-1,sizeof(My));
while(searchP())
{
memset(vst,0,sizeof(vst));
for(int i=0;i<Nx;i++)
if(Mx[i]==-1&&DFS(i)) res++;
}
return res;
}
//**************************************************************************/
3.KM算法（带权匹配）
/* KM算法
* 复杂度O(nx*nx*ny)
* 求最大权匹配
* 若求最小权匹配，可将权值取相反数，结果取相反数
* 点的编号从0开始
*/
const int MAXN = 310;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int nx,ny;//两边的点数
int g[MAXN][MAXN];//二分图描述
int linker[MAXN],lx[MAXN],ly[MAXN];//y中各点匹配状态，x,y中的点标号
int slack[MAXN];
bool visx[MAXN],visy[MAXN];
bool DFS(int x)
{
visx[x] = true;
for(int y = 0; y < ny; y++)
{
if(visy[y])continue;
int tmp = lx[x] + ly[y] - g[x][y];
if(tmp == 0)
{
visy[y] = true;
if(linker[y] == -1 || DFS(linker[y]))
{
linker[y] = x;
return true;
}
}
else if(slack[y] > tmp)
slack[y] = tmp;
}
return false;
}
int KM()
{
memset(linker,-1,sizeof(linker));
memset(ly,0,sizeof(ly));
for(int i = 0;i < nx;i++)
{
lx[i] = -INF;
for(int j = 0;j < ny;j++)
if(g[i][j] > lx[i])
lx[i] = g[i][j];
}
for(int x = 0;x < nx;x++)
{
for(int i = 0;i < ny;i++)
slack[i] = INF;
while(true)
{
memset(visx,false,sizeof(visx));
memset(visy,false,sizeof(visy));
if(DFS(x))break;
int d = INF;
for(int i = 0;i < ny;i++)
if(!visy[i] && d > slack[i])
d = slack[i];
for(int i = 0;i < nx;i++)
if(visx[i])
lx[i] -= d;
for(int i = 0;i < ny;i++)
{
if(visy[i])ly[i] += d;
else slack[i] -= d;
}
}
}
int res = 0;
for(int i = 0;i < ny;i++)
if(linker[i] != -1)
res += g[linker[i]][i];
return res;
}