不完全得分记录可能的胜负结果数量解决方案

不完全得分记录可能的胜负结果数量
该题来源于http://hero.****.net/，但和原题不同

n个人参加乒乓球比赛，每两个人都比赛一场，输者不得分，赢者得1分，
最终记录n个人的得分。给定前1到k每个人的得分Si，后n-k个人的得分缺失
如何根据给定的k个人的得分，计算出一共有多少可能的每两人之间的输赢关系？

如下,给定n,k,Si
n表示参与比赛的人数，k表示给出k条得分记录，Si表示第i个人的得分为Si

下面的计算是否正确，如何化简下面的式子呢？

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看公式有阅读障碍，但你这个式子求出来的结果可能有问题。原题中有不少限制条件呢。