关于自然常数$e$的理解

By Z.H. Fu
切问录 ( http://www.fuzihao.org )

利息增长模型

　　在上中学学习对数的时候，我们就学到了一个叫做e的东西($e\approx 2.71828$)，后来又学了e的定义，($e=\lim \limits_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$),但是始终缺乏一个直观的理解，为什么e要这么定义，为什么到处都会有他的身影。后来在研究一个增长模型的时候，重新研究了下e的定义，找到了几个关于它的直观的理解。
　　首先研究这么一个模型，你往银行里存钱，假设银行的利息按年结算，银行每年的利息与你在银行存的总额和时间成正比（即利息=现金总量x利率x时间差），设存入金额为1，利率为p，那么第二年，你在银行的金额增加到了$1+p$,第三年，你在银行的钱将有$(1+p)(1+p)$,第$n+1$年将有$(1+p)^n$注意这里的时间差都是以年来计算，假设，我们遇到了一个很有耐心的银行，它愿意每天给你结算利息，我们来计算每一天的资金量，第二天的资金量=$1+\frac{p}{365}$(利息=总金（1）x利率（p）x时间（$\frac{1}{365}$）)，第365天的资金量为$(1+\frac{p}{365})^{364}$，有没有看到e的雏形？我们再假设银行每秒钟都会算一次利息，一年有n秒，那么，按照之前给出的方法，我们就有年末的总金额=$(1+\frac{p}{n})^n$当n趋于无穷大时，即银行每时每刻都会给你结算利息，即等于$e^p$，也就是说，复利的极限竟然和e有关系！

泰勒级数的直观理解

　　我们换种思路再来思考这个问题，这次我们用利滚利的方式来思考，你的本金在银行放了一年，这些本金产生的利息为设每一时刻的本金为$c(t)=1$，那么在一年中第t时刻我们拥有的利息为：

$$p_0(t)=\int_0^t p c(t)dt=\int_0^t p dt = pt$$
因而一年下来的利息为p。但是事情还没有结束，由这些利息产生的利息还没有被计算，那么利息产生的利息在t时刻应该为：
$$p_1(t)=\int_0^t p p_0(t)dt=\int_0^t p^2 dt = \frac{p^2t^2}{2}$$
同样的道理，利息的利息，也会产生利息，这个利息又等于：
$$p_2(t)=\int_0^t p p_1(t)dt=\int_0^t p\frac{p^2t^2}{2} dt = \frac{p^3t^3}{3\times 2}$$
依次地推，我们有利息的利息的利息产生的利息在t时刻为：
$$p_3(t)=\frac{p^4t^4}{4!}$$
而这种递推是无穷的，我们把这些本金和利息加载一起就是我们最后拥有的资金，总数为：
$$\begin{aligned}S&= 1+p_0+p_1+\cdots+p_n+\cdots \\ &=\frac{p^0}{0!}+\frac{p^1}{1!}+\cdots +\frac{p^n}{n!}+\cdots \\ &=e^p \end{aligned}$$
其中，t全部被带换成了1。这正是e的泰勒级数展开。
　　由此可见，我们通过一种模型导出了e的两种表示方式，那么这两种表示方式有没有什么联系呢？实际上，我们讲e的极限式展开，有：
$$\begin{aligned}e^p&=\lim \limits_{n\to \infty}(1+\frac{p}{n})^n\\&=(1+\frac{p}{n})(1+\frac{p}{n})(1+\frac{p}{n})\cdots\end{aligned}$$
我们来观察其中的每一项
1的系数为1
含$\frac{p}{n}$的项为$\lim \limits_{n\to \infty}\binom{n}{1}\frac{p}{n}=\lim \limits_{n\to \infty}n\frac{p}{n}=p$
含$(\frac{p}{n})^2$的项为$\lim \limits_{n\to \infty}\binom{n}{2}(\frac{p}{n})^2=\lim \limits_{n\to \infty}\frac{n(n-1)}{2!}(\frac{p}{n})^2=\frac{p^2}{2!}$
含$(\frac{p}{n})^k$的项为$\lim \limits_{n\to \infty}\binom{n}{k}(\frac{p}{n})^k=\lim \limits_{n\to \infty}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}(\frac{p}{n})^k=\frac{p^k}{k!}$
因此这些项的和为：
$$S=1+p+\frac{p^2}{2!}+\frac{p^3}{3!}+\cdots+\frac{p^k}{k!}+\cdots=e^p$$
上面这个证明用到了多项式展开向无穷的推广，欧拉曾经在证明$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$时用到了这个展开，但在当时还不算严谨，而这个展开推广的合理性则是在一百年后由维尔斯特拉斯给出。

从常微分方程来理解

　　由以上论述，我们统一了e的泰勒展开与其定义，并给出了相应的物理意义，最后来看看一般情况下我们是怎么解决这个问题的。设每一个时刻的金额数为y，那么我们有：

$$dy=y p dt$$ 即
$$y'=py$$
这是一个简单的常微分方程，他的解就是$y=e^{pt}$
　　综上我们给出了同一个模型在e的定义、e的泰勒展开、常微分方程三种表示的物理意义。其中，常微分方程的使用最广，而泰勒级数的方式却体现了现代数学的一种无穷递归的思想，这种思想为后来的数学发展起到了相当大的影响作用。

参考文献

[1] http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/
[2] http://www.guokr.com/article/50264/