一、关系的运算

笛卡尔积/直积A×B={(a , b) | a∈A且b∈B}，对于∩和∪都满足分配性。

A×B=B×A ⟺(A=∅)∨(B=∅)∨(A=B)

R⊆A×B，当(a , b)∈R时称a与b具有关系R，即xRy。A=B时R就是A上的一个二元关系。

例如集合幂集P(A)上的包含关系为P_⊆={(x , y) | x∈P(A) ∧y∈P(A) ∧x⊆y}

   A上的恒等关系I_A={(a , a) | a∈A}，(a , b)∈I_A当且仅当a=b

   A上的全域关系E_A={(a , b) | a , b∈A}，(a , b)∈EA恒成立

注意：关系是集合！对集合成立的运算对关系都成立，例如＜∩＞=∅，≤∩≥==

R的定义域（domain）为R中所有有序对第一元素构成的集合；值域（range）为所有有序对第二元素构成的集合

Dom(R^-1)=Ran(R)，Dom(R)=Ran(R^-1)

x的像集（image）为R(x)={y∈B | xRy}，子集A₁的像集R(A₁)={y∈B | xRy对某x∈A₁成立}，R(∅)=∅

若R、S是A到B的二元关系，对任意a∈A都有像集R(a)=S(a)，那么R=S

证明：对任意(a ,b)∈R，b∈R(a)=S(a)，故(a ,b)∈S，

R在集合C上的限制R|C={(a , b) | a∈C且(a , b)∈R}

其中矩阵布尔积S○R的计算方法：R_ik=1且S_kj=1时，(S○R)_ij=1。其运算与普通矩阵运算是完全一样的，只不过最后要将所有非0转换为1

(S○R)(A₁)=S(R(A₁)) 

 

设R为集合A上的关系

A上的关系Rⁿ为：a, b∈A，则aRnb当且仅当存在R中从a到b长为n的道路

A上的关系R^∞为：a, b∈A，则aR∞b当且仅当存在R中从a到b的道路

Rn可递归地定义为： 

三、关系的性质  

 

若|A|=n，则A上可定义：

（1）2^n×n个不同的关系

（2）2^n×n-n个不同的自反关系

（3）2^n×n-n个不同的非自反关系

（4）2^(n×n-n)/2+n个不同的对称关系

（5）3^(n×n-n)/2个不同的非对称关系

（6）2ⁿ×3^(n×n-n)/2个不同的反对称关系

四、闭包

关系闭包运算的性质

R⊆S时有r(R)⊆r(S)、s(R)⊆s(S)、t(R)⊆t(S)

s(R)和t(R)能保持自反性；r(R)和t(R)能保持对称性；r(R)能保持传递性，s(R)则不一定能保持

（1）rs(R)=r(R∪R^-1)=I_A∪(R∪R^-1)=(R∪I_A)∪(R^-1∪I_A^-1)=(R∪I_A)∪(R∪I_A)^-1=s(R∪I_A)=sr(R)

（2）rt(R)=r(R^∞)=R^∞∪I_A=(R∪I_A)^∞=t(R∪I_A)=tr(R)

（3）st(R)⊆ts(R)，即传递闭包的对称闭包不一定还是传递的，如{(1, 3)}

证明：只需证明①ts(R)具有对称性、②t(R)⊆ts(R)

①的证明：s(R)具有对称性，t(R)能保持对称性，故ts(R)具有对称性

②的证明：R⊆ts(R)，ts(R)具有传递性，故t(R)⊆ts(R)

Warshall传递闭包算法

五、等价与划分

等价关系x~y：自反、对称、传递

R(a)称作a所在的等价类[a]、[a]_R

集合{R(a) | a∈A}称作A关于R的商集，记作A/R（即R的所有等价类作为元素的集合)，a是R(a)的代表元

aRb，当且仅当R(a)=R(b)

R、S是等价关系时，R∩S一定是等价关系，R∪S则不一定，包含R∪S的最小等价关系是(R∪S)^∞

证明：R∩S可以保持自反性、对称性、传递性，因此它是对称关系

         R∪S可以保持自反性、对称性，但不一定能保持传递性

         因此(R∪S)^∞=t(R∪S)肯定也具有自反性、对称性作为R∪S的传递闭包显然也具有传递性 ，因此它是等价关系

 对于任何包含R∪S的等价关系T，都是必定具有传递性的，而其中(R∪S)^∞作为R∪S的传递闭包必定是最小的

六、偏序关系和偏序集

1.偏序关系

偏序关系：自反、反对称、传递。例如恒等关系I_A是就是偏序关系

偏序集：集合A和偏序关系R构成的有序二元组(A , R)

R^-1也是偏序关系，称为R的对偶；(A , R^-1)称为(A , R)的对偶。

a、b可能可比（a≥b或a≤b），也可能不可比

如果对任意a, b∈A，它们都是可比的，则R称为全序关系/线序关系，(A , R)称为线序集、全序集、链

R-I_A是拟序关系

2.拟序关系

拟序关系：非自反、传递、非对称

逆序集(A , ＜)中肯定不会存在大于1的圈  

R+I_A是偏序关系

3.哈斯图

（1）省略自环

（2）删除可通过传递性省略的有向边

（3）有向边均向上

（4）忽略箭头

（5）所有顶点替换为点

只能表示有限偏序集，例如P({a , b , c})上的⊆关系如图：

若(A , ≤)是有限非空偏序集，B⊆A