二分法

前言

二分法的使用依托是函数的零点存在性定理。

二分法

比如解(2^x=8)，我们一口就能答出来(x=3)，那么如解(2^x=7)呢，这时候就需要用到二分法。

令(f(x)=2^x-7)，(f(2)=-3<0)，(f(3)=1>0)，故函数的零点(x_0in (2,3))，能不能再精确呢？

典例剖析

例1用二分法求方程(x^2-5=0)在区间((2，3))内的近似解，经过_______次二分后精确度能达到(0.01)。

分析：一次二分，有解区间的长度变为(cfrac{1}{2})，

二次二分，有解区间的长度变为(cfrac{1}{2^2})，

设经过了(k)次后精确度达到(0.01)，即(cfrac{1}{2^k}<0.01)。

解得(2^k>100)，即(kge 7)，

故经过7次二分后精确度能达到(0.01)。

例2用二分法求方程(x^3-2x-5=0)在区间([2，3])上的近似解，取区间中点(x_0=2.5)，则下一个有解区间为________.

分析：用零点存在性定理，设函数(f(x)=x^3-2x-5)，则(f(2)>0)，(f(2.5)>0)，

则下一个有解区间为([2，2.5])。

例3函数(f(x)=3ax-2a+1)在区间([-1，1])上存在一个零点，则(a)的取值范围是________.

分析：由(f(-1)cdot f(1)leq 0)，

得到(aleq -1)或(age cfrac{1}{5})。

精确度控制

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