多个参数之和积的取值范围

前言

这篇博文实际上应该命名为函数性质的综合运用更适合些。

这类题目常常考查到函数的对称性，比如二次函数或绝对值函数或偶函数，同时常常考查绝对值型的复合函数的特有性质，比如(f(x)=|2^x-1|)或(g(x)=|lgx|)等。

常识积累

例1已知函数(f(x)=|2^x-1|)，若互异的实数(a)，(b)满足方程(f(a)=f(b))，则(2^a+2^b=2)。

分析：(f(x)=|2^x-1|=left{egin{array}{l}{2^x-1，xgeqslant 0}\{1-2^x，x<0}end{array} ight.) 则由图可知，(a<0)，(b>0)

则(f(a)=1-2^a)，(f(b)=2^b-1)，由(1-2^a=2^b-1)，得到(2^a+2^b=2).

例2已知函数(f(x)=|lgx|)，若互异的实数(a)，(b)满足方程(f(a)=f(b))，则(ab=1)。

分析：(f(x)=|lgx|=left{egin{array}{l}{lgx，xgeqslant 1}\{-lgx，0<x<1}end{array} ight.) 则由图可知，(0<a<1)，(b>1)

则(f(a)=-lga)，(f(b)=lgb)，由(f(a)=f(b))，得到(-lga=lgb)，

即(lga+lgb=0)，即(lgab=0)，则(ab=1)。

例3已知函数(f(x)=|x-1|)，若互异的实数(a)，(b)满足方程(f(a)=f(b))，则(a+b=2)。

分析：由图可知，函数的对称轴为(x=1)，故由(f(a)=f(b))，可知(cfrac{a+b}{2}=1)，则(a+b=2).

典例剖析

例1(2017凤翔中学高三理科数学第二次月考第11题)已知函数(f(x)=egin{cases}2^{|x|}+1，&xleq 2\-cfrac{1}{2}x+6，&x>2end{cases})，若(a，b，c)互不相等，且满足(f(a)=f(b)=f(c))，则(a+b+c)的取值范围是【 】

分析：作出题目的函数图像，不妨设(a < b < c)，由图像可知第一段为偶函数，故必然满足(a+b=0)

让水平直线从(y=2)变化到(y=5)这两个极限位置，

当(y=2)时，(c=8)，当(y=5)时，(c=2)，

当然这两个极限位置都不能取到，故(a+b+c)的取值范围是((2，8))。

反思：
1、本题目容易这样错解，由图像得到(-2< a <0)，(0< b <2)，(2< c <8)；三个同向不等式相加得到(0< a+b+c <10)，

错解原因：由于受条件(f(a)=f(b)=f(c))的限制，(a，b，c)的取值是有关联的，故把它们先拆分再相加的解法是错的。

2、再比如我们知道(-1leq sin hetaleq 1)，(-1leq cos hetaleq 1)，但是不能得到(-2leq sin heta+cos hetaleq 2)，

而是变形得到(sin heta+cos heta=sin( heta+cfrac{pi}{4})in[-sqrt{2}，sqrt{2}])。

例2【2019凤翔中学高三理科数学资料用题】已知函数(f(x)=egin{cases}|lgx|，&0<xleq 10\-cfrac{1}{2}x+6，&x>10end{cases})，若(a，b，c)互不相等，且满足(f(a)=f(b)=f(c))，则(abc)的取值范围是【 】

分析：做出函数的大致图像，