[家里蹲大学数学杂志]第037期泛函分析期末试题
1 (10 分) 设 $mathcal{X}$ 是 Banach 空间, $f$ 是 $mathcal{X}$ 上的线性泛函. 求证: $fin mathcal{L}(mathcal{X})$ 的充分必要条件是 [ N(f)={ xin mathcal{X}; f(x)=0 } ] 是 $mathcal{X}$ 的闭线性子空间.
证明: 参见书 P 82 T 2.1.7(3).
2 (10 分) 设 $mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $l$ 为 $mathcal{H}$ 上的一实值线性有界泛函, $C$ 是 $mathcal{H}$ 中一闭凸子集, [ f(v)=frac{1}{2}||v||^2-l(v)quad(forall vin C). ] 求证:
(1)$exists u^*in mathcal{H}$, 使得 [ f(v)=frac{1}{2}||v-u^*||^2-frac{1}{2}||u^*||^2quad (forall vin C); ]
(2) $exists | u_0in C$, 使得 [ f(u_0)=inf_{vin C}f(v). ]
证明: 参见书 P 87 T 2.2.2.
3 (15 分) 设 $mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $Ain mathcal{L}(mathcal{H})$, 并且 $exists m>0$, 使得 [ |(Ax,x)|geq m||x||^2quad(forall xin mathcal{H}). ] 求证: $A^{-1}$ 存在且 $A^{-1}in mathcal{L}(mathcal{H})$.
证明: 参见书 P 103 T 2.3.3.
4 (10 分) 设 $mathcal{X}$ 是赋范线性空间, ${x_1,cdots,x_n}$ 是 $n$ 个线性无关元. 求证: $exists {f_1,cdots,f_n}$ 使得 [ <f_i,x_j>=delta_{ij}quad(forall i,j=1,cdots,n). ]
证明: 参见书 P 124 T 2.4.7.
5 (10 分) 设 $mathcal{X}$ 是复赋范线性空间, $Esubset mathcal{X}$ 是非空的均衡闭凸集. 求证: $exists fin mathcal{X}^*$, 使得 [ sup_{xin E}|f(x)|<|f(x_0)|. ]
证明: 参见书 P 124 T 2.4.10.
6 (10 分) 设 $mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $Tin mathcal{L}(mathcal{H})$ 满足 $||T||leq 1$. 证明: $Tx=x$ 的充分必要条件是 $T^*x=x$.
证明: 仅证必要性, 充分性类似可证. 由 $Tx=x$ 及 $||T||leq 1$ 知 [ ||T||=1, ] 而 [ ||T^*||=||T||=1. ] 于是 egin{eqnarray*} ||T^*x-x||^2 &=&(T^*x-x,T^*x-x)\ &=&||T^*x||^2-(T^*x,x)-(x,T^*x)+||x||^2\ &=&||T^*x||^2-(x,Tx)-(Tx,x)+||x||^2\ &=&||T^*x||^2-||x||^2quad(mbox{由 } Tx=x)\ &leq& ||T^*||^2cdot ||x||^2-||x||^2\ &=&0quad(mbox{由 } ||T^*||=1). end{eqnarray*}}
7 (15 分) 设 $mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $T:mathcal{H} o mathcal{H}$ 是线性算子且满足 [ (Tx,y)=(x,Ty)quad (forall x,yin mathcal{H}). ] 求证:
(1) $Tin mathcal{L}(mathcal{H})$;
(2)$T^*=T$, 此时称 $T$ 为自共轭算子;
(3)若 $overline{R(A)}=mathcal{H}$, 则对 $forall yin R(A)$, 方程 [ Ax=y ] 存在唯一解.
证明:
(1)往证 $T$ 是闭算子, 而由 $D(T)=mathcal{H}$ 及闭图像定理知 $Tin mathcal{L}(mathcal{H})$. 事实上, 设 $mathcal{H} i x_n o x, Tx_n o y$, 则于 [ (Tx_n,z)=(x_n,z)quad (forall zin mathcal{H}) ] 中令 $n oinfty$,有 [ (y,z)=(x,Tz)=(Tx,z)quad(forall zin mathcal{H}). ] 于是 [ y=Tx. ]
(2)参见书 P 151 T 2.5.9(1).
(3)参见书 P 151 T 2.5.9(2).
8 (10 分) 设 $varphiin C[0,1]$, $T: L^2[0,1] o L^2[0,1]$ 是由 [ (Tf)(x)=varphi(x)int_0^1varphi(t)f(t) dtquad(forall fin L^2[0,1]) ] 给出的线性算子. 求证:
(1)$T$ 是自共轭算子 (定义见题7);
(2)$exists lambdageq 0$, 使得 $T^2=lambda T$, 由此求出 $T$ 的谱半径 $r_sigma(T)$.
证明:
(1)对 $forall f, gin L^2[0,1]$, 由 egin{eqnarray*} (Tf,g) &=&int_0^1 [ varphi(x)int_0^1 varphi(t)f(t) dt ]cdot g(x) dx\ &=&int_0^1 varphi(t)f(t) dt cdot int_0^1 varphi(x)g(x) dx\ &=&int_0^1 varphi(x)f(x) dx cdot int_0^1 varphi(t)g(t) dt\ &=&int_0^1 f(x)cdot [varphi(x)int_0^1 varphi(t)g(t) dt] dx\ &=&(f,Tg) end{eqnarray*} 知 $T^*=T$, 而 $T$ 为自共轭算子.
(2)由 egin{eqnarray*} (T^2f)(x) &=&[T(Tf)](x)\ &=&varphi(x)int_0^1 varphi(t)(Tf)(t) dt\ &=&varphi(x) int_0^1 [ varphi(t) cdot varphi(t) int_0^1 varphi(s)f(s) ds ] dt\ &=&int_0^1 varphi^2(t)dtcdot varphi(x)int_0^1 varphi(s)f(s) ds\ &=&int_0^1 varphi^2(t)dtcdot (Tf)(x)quad (forall fin L^2[0,1]) end{eqnarray*} 知 [ T^2=lambda T, ] 其中 [ lambda=int_0^1 varphi^2(t)dt. ] 由数学归纳法易知 [ T^n=lambda^{n-1}Tquad(ngeq 1), ] 而 $T$ 的谱半径 [ r_sigma(T)=lim_{n oinfty}||T^n||^frac{1}{n} =lim_{n oinfty} lambda^frac{n-1}{n}||T||^frac{1}{n} =lambda =int_0^1 varphi^2(t)dt. ] 倒数第二个等号是因为若 $varphiequiv 0$, 则 $lambda=0$, $T=0$; 若 $varphi otequiv 0$, 则 $||T|| eq 0$.
9 (10 分) 设 $C[0,1]$ 是连续函数空间, 赋以最大值范数 [ ||x||_infty =max _{tin [0,1]} |x(t)|quad (forall xin C[0,1]). ] 求证: 在 $C[0,1]$ 中, $x_n ightharpoonup x_0$ 的充分必要条件是 [ lim_{n oinfty}x_n(t)=x_0(t),quad forall tin [0,1]cap mathbb{Q}, ] 且 [ sup_{ngeq 1}||x_n||_infty<infty. ]
证明: 必要性. 对 $forall tin [0,1]cap mathbb{Q}$, 易知 [ f_t: C[0,1] i xmapsto x(t) ] 是 $C[0,1]$ 上的有界线性泛函, 而 [ lim_{n oinfty}x_n(t) =lim_{n oinfty}f_t(x_n) =f_t(x_0)=x_0(t). ] 再把 $x_n$ 看成 $C[0,1]^{**}$ 中的元素, 由共鸣定理, [ sup_{ngeq 1}||x_n||_infty<infty. ] 充分性. 由于 $C[0,1]$ 的共轭空间是 [ BV[0,1] ={ g:[0,1] o mathbb{C}; {g(t)=g(t+0) (forall tin [0,1)),atop g(0)=0, var(g)<infty} } ] (参见书 P 129 例 2.5.3), 且对 $forall Fin C[0,1]^*$ 有表示 [ F(x)=int_0^1 x(t)dg(t)quad (forall xin C[0,1]). ] 由充分性的假设及 Lebesgue 控制收敛定理, [ lim_{n oinfty}F(x_n) =lim_{n oinfty}int_0^1 x_n(t)dg(t) =int_0^1 x_0(t)dg(t) =F(x_0). ]
应老师要求, 修改了[家里蹲大学数学杂志]第036期泛函分析期末试题, 而得到了本文, 并给出了参考解答.