关于线性代数的一道证明题,毫无头绪,求详细证明过程

关于线性代数的一道证明题,毫无头绪,求详细证明过程,在线等

设n阶矩阵A,B满足R(A)+R(B) <n，证明A与B有公共的特征值，有公共的特征向量。


------解决方案--------------------
定理（随便一本线代书上都有）：降秩阵必有特征值为0。
证明方法：n阶方阵A，若降秩即R(A) <n，则齐次线性方程组Ax=0有非零向量解，即Ax=0x有非零向量解，即0为特征值。
显然，由题意，A和B有共同特征值0

推论：n阶方阵A，若R(A)=m <n，则Ax=0有解，解空间为n-m=n-R(A)维的。即A的0特征值对应的特征向量张成n-R(A)维空间，这个空间是n维空间的子空间。

由题意，R(A)+R(B) <n，可得 n-R(A) + n-R(B) > n
由推论，A的特征向量张成p=n-R(A)维空间，B的特征向量张成q=n-R(B)维空间，这两个空间都是n维空间的子空间，但p+q> n所以这两个空间之交是一个至少为1维的子空间，这个子空间中的任何一个向量都是A和B共同的、对应特征值0的特征向量